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1
4
π
-1
(
)=
(
)
=
Abbildung 4.5.
Abtasten der Funktion
u
x
sin
5
x
. Während das Abtasten mit der Rate
T
0,1 (Kreuze)
=
die Funktion gut wiedergibt, liefert die Abtastrate
T
1,2 (Kreise) einen völlig falschen Eindruck einer zu
niedrigen Frequenz.
d
l
Ω =
∏
=1
[
−
B
l
,
B
l
]
Auf einem
d
-dimensionalen Rechteck
definieren wir die Funktion
(
e
k
)
k
∈
Z
d
durch
d
l
=1
e
i
k
l
B
l
x
l
e
k
(
x
)=
und erhalten eine Orthonormalbasis in
L
2
(
Ω
)
bezüglich des Skalarproduktes
1
(
u
,
v
)
Ω
=
u
(
x
)
v
(
x
)
d
x
.
d
l
2
d
∏
1
B
l
Ω
=
4.2.2 Das Abtasttheorem
Üblicherweise werden kontinuierliche eindimensionale Signale
u
:
R
→
C
mit einer
))
n∈
Z
ge-
messen. Dass das diskrete Abtasten eines Signals überraschende Effekte haben kann,
illustrieren Abbildung 3.1 und 4.5. Insbesondere muss die abgetastete Funktion nicht
unbedingt die wirkliche Funktion widerspiegeln. Der nächste Satz zeigt, dass die dis-
kreten Abtastpunkte unter gewissen Umständen jedoch die ganze Information des Si-
gnals tragen.
>
(
(
konstanten
Abtastrate T
0 abgetastet, das heißt, es werden die Werte
u
nT
Satz 4.35
(Abtasttheorem nach Shannon-Whitakker)
Es seien B
L
2
>
0
und u
∈
(
R
)
so, dass
u
(
ξ
)=
0
für
|
ξ
| >
B. Dann ist u durch die Werte
(
(
))
k∈
Z
bestimmt und es gilt für alle x die Rekonstruktionsformel
u
k
π
/
B
sinc
B
)
.
)=
k∈
Z
u
(
k
B
k
B
(
)
π
(
−
u
x
x
Beweis.
Der Trick in diesem Beweis besteht darin, dass sich
u
sowohl als Element in
L
2
als auch in
L
2
auffassen lässt. Wir können also sowohl die Fouriertrans-
formation als auch die Fourierreihe von
(
R
)
([
−
B
,
B
])
u
betrachten.
u
in
L
2
liegt, liegt es ebenfalls in
L
1
. Damit ist
u
stetig und die
Punktauswertung von
u
ist wohldefiniert. Wir benutzen die Rekonstruktionsformel der
Fouriertransformation und erhalten
Da
([
−
B
,
B
])
([
−
B
,
B
])
B
2
π
1
√
2
k
B
d
k
B
e
i
ξ
u
(
)=
B
u
(
ξ
)
ξ
=
B
(
u
,
e
)
[
−
B
,
B
]
−k
π
−
