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le Abbildungen werden wir durch Tensorproduktbildung behandeln können. Im Falle
von Fourierreihen können wir, anders als im Fall der Fouriertransformation, gleich im
Hilbert-Raum
L
2
([
−π
π
])
,
beginnen. Wir statten ihn mit dem normalisierten Skalarpro-
dukt
π
1
2
(
u
,
v
)
[
−
π
,
π
]
=
u
(
x
)
v
(
x
)
d
x
π
−π
aus. Das für uns relevante Resultat ist der folgende Satz:
Satz 4.33
Zu k
e
i
kx
. Diese Funktionen
∈
Z
definieren wir e
k
(
)=
(
e
k
)
k∈
Z
bilden eine Orthonormalbasis
x
von L
2
L
2
([
−
π
,
π
])
. Insbesondere lässt sich jede Funktion u
∈
([
−
π
,
π
])
als Fourierreihe
=
k∈
Z
(
u
,
e
k
)
[
−π
,
π
]
e
k
u
schreiben.
Beweis.
Die Orthonormalität der
e
k
lässt sich elementar nachrechnen. Um zu zeigen,
dass die
e
k
eine Basis bilden, zeigen wir, dass die lineare Hülle der
e
k
dicht in
L
2
π
])
liegt. Nach dem Weierstraßschen Approximationssatz für trigonometrische Polynome
(siehe zum Beispiel [72]) existiert für jede stetige Funktion
u
:
([
−
π
,
[
−π
π
]
→
,
C
und jedes
k
n
ε
>
0 ein trigonometrisches Polynom
P
k
(
x
)=∑
=
−k
a
n
e
n
(
x
)
, so dass
|
u
(
x
)
−
P
k
(
x
)
|≤
ε
. Es folgt
π
−π
|
1
2
2
2
d
x
2
.
u
−
P
k
=
u
(
x
)
−
P
k
(
x
)
|
≤
ε
π
Da die stetigen Funktionen in
L
2
dicht liegen, lässt sich auch jede
L
2
-Funktion
beliebig gut durch trigonometrische Polynome approximieren und wir sehen, dass d
ie
(
([
−
π
,
π
])
e
k
)
eine Basis bilden.
Die Werte
π
1
2
e
−
i
kx
d
x
(
)
[
−π
,
π
]
=
(
)
u
,
e
k
u
x
π
−
π
heißen Fourier-Koeffizienten von
u
.
Bemerkung 4.34
Für Funktionen in
L
2
([
−
B
,
B
])
definieren wir das Skalarprodukt
B
1
2
B
(
u
,
v
)
[
−B
,
B
]
=
u
(
x
)
v
(
x
)
d
x
.
−B
e
i
k
B
x
bilden hier eine Orthonormalbasis und mit den Fourier-
Die Funktionen
e
k
(
x
)=
Koeffizienten von
u
B
1
2
B
e
−
i
k
B
x
d
x
(
)
[
−B
,
B
]
=
(
)
u
,
e
k
u
x
−
B
gilt
=
k∈
Z
(
u
,
e
k
)
[
−B
,
B
]
e
k
.
u
