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u
u
ξ
x
v
v
ξ
x
w
w
ξ
x
Abbildung 4.4.
Illustration zu Beispiel 4.30: Die Glattheit einer Funktion spiegelt sich in schnellem Abfallen
der Fouriertransformierten wider (und andersherum).
Definition 4.31
Der
fraktionale Sobolew-Raum
zu
s
∈
R
ist definiert durch
H
s
R
d
2
s
2
d
u
∈
(
)
⇐⇒
R
d
(
1
+
|
ξ
|
)
|
u
(
ξ
)
|
ξ
<
∞
.
Auf ihm ist folgendes Skalarprodukt definiert
2
s
(
u
,
v
)
H
s
)
=
R
d
(
1
+
|
ξ
|
)
u
(
ξ
)
v
(
ξ
)
d
ξ
.
(
R
d
Beispiel 4.32
In fraktionalen Sobolew-Räumen können auch „nicht-glatte“ Funktionen eine gewisse
Glattheit haben. So ist zum Beispiel die charakteristische Funktion
u
(
x
)=
χ
[
−
1,1
]
(
x
)
für
im Raum
H
s
∈
[
[
(
)
jedes
s
0, 1/2
R
, wovon Sie sich in Aufgabe 4.10 überzeugen sollten.
4.2 Fourierreihen und das Abtasttheorem
)
∗
sind für
die Bildverarbeitung auch analoge Transformationen für Funktionen
f
auf Rechtecken
∏
Neben der Fouriertransformation auf
L
1
R
d
,
L
2
R
d
R
d
R
d
(
)
(
)
,
S
(
)
und
S
(
d
k
R
d
interessant. Dies führt auf die sogenannten Fourierreihen. Mit ihrer
Hilfe werden wir das Abtasttheorem beweisen, welches den Zusammenhang zwischen
einem kontinuierlichem Bild und seiner Abtastung erklärt. Außerdem können wir den
Alias-Effekt in Abbildung 3.1, der durch falsches Abtasten entsteht, erklären.
[
a
k
,
b
k
]
⊂
=
1
4.2.1 Fourierreihen
Wir betrachten vorerst eindimensionale Signale
u
:
C
. Signale auf allge-
meinen beschränkten Intervallen erhalten wir durch Skalierung und höherdimensiona-
[
−
π
,
π
]
→
