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u
low
u
high
u
Abbildung 4.2.
Bildzerlegung und tief- und hochfrequente Anteile.
Bemerkung 4.21
(Entfalten mit der Fouriertransformation)
Die „Out-of-focus“-Unschärfe, die Bewegungsunschärfe und weitere Unschärfemodel-
le nehmen an, dass die Unschärfe durch einen linearen Filter, also durch eine Faltung
modelliert wird. Ein De-blurring ist diesem Fall durch eine Entfaltung zu erreichen. Ist
das unscharfe Bild
u
gegeben durch
u
=
u
0
∗
h
mit einem unbekanntem Bild
u
0
und bekannten Faltungskern
h
, so gilt (im zweidimen-
sionalen Fall)
u
0
h
und wir erhalten das unbekannte Bild durch
u
0
=
F
−
1
=
π
u
2
.
u
πh
2
Ist
u
exakt gemessen, das Modell für
h
akkurat und
h
0 so ist es hiermit tatsächlich
möglich, die Unschärfe exakt zu beheben. Liegt allerdings
u
nicht exakt vor, so tritt
auch bei akkuratem
h
ein Problem auf: typischerweise weist
h
Nullstellen auf und (fast
noch schlimmer) beliebig kleine Werte. Liegt nun statt
u
nur
u
vor, welches mit einem
Fehler versehen ist, so weist auch
u
einen Fehler auf. Dieser Fehler wird bei der Division
durch
h
beliebig viel verstärkt. Es reicht in diesem Fall schon eine feine Quantisierung
der Grauwerte als Fehler in
u
, siehe Abbildung 4.3.
(
ξ
)
=
4.1.3 Die Fouriertransformation für Maße und temperierte Distributionen
R
d
auf
L
2
R
d
Wir können die Fouriertransformation nicht nur vom Schwartz-Raum
)
fortsetzen, sondern sogar auch für bestimmte Distributionen definieren. Dazu definie-
ren wir einen speziellen Raum von Distributionen.
S
(
)
(
Definition 4.22
Mit
∗
bezeichnen wir den Dualraum von
R
d
R
d
S
(
)
S
(
)
, d.h. den Raum aller linearen
R
d
und stetigen Funktionale
T
:
S
(
)
→
C
. Wir nennen diesen Raum den Raum der
temperierten Distributionen
.
