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diese Gleichung an, erhalten wir mit Hilfe von Lemma 4.13 die Differentialgleichung
−
ωg
)=
R
g
g
(
ω
)
g
erfüllen also die gleiche Differentialgleichung mit dem gleichen Anfangswert und mü
s-
sen also nach dem Satz von Picard-Lindelöf gleich sein. Dies zeigt die Behauptung.
(
ω
)=
. Weiterhin gilt
g
(
0
(
t
)
d
t
=
1
=
g
(
0
)
. Die Funktionen
g
und
Satz 4.15
Die Fouriertransformation ist eine stetige und bijektive Abbildung des Schwartz-Raumes in sich.
Für u
R
d
∈S
(
)
gilt die Inversionsformel
1
(
F
−
1
e
i
x·ξ
d
F
u
)(
x
)=
u
(
x
)=
R
d
u
(
ξ
)
ξ
=
u
(
x
)
.
(
π
)
d
/2
2
Beweis.
Nach Lemma 4.13 gilt für jedes
ξ
1
|ξ
α ∂
β
(
ξ
)
|
=
|F
(
∂
α
∂
d
/2
∂
α
p
β
u
p
β
u
)(
ξ
)
|≤
1
.
∂ξ
β
u
(4.1)
x
α
x
α
∂
(
2
π
)
R
d
R
d
∈S
(
)
∈S
(
)
Also ist mit
u
. Da die Fouriertransformation linear ist, reicht
es, die Stetigkeit in Null zu zeigen. Wir betrachten also eine Nullfolge
auch
u
(
u
n
)
im Schwartz-
Raum, d.h. für
n
→
∞
gilt
C
β
(
u
n
)
→
0. Das heißt aber, dass dann
(
u
n
)
und ebenso
α
,
(
∂
α
p
β
u
n
)
gleichmäßig gegen Null gehen. Daraus folgt, dass die rechte Seite
in (4.1) gegen Null geht. Insbesondere folgt
C
für alle
α
,
β
β
(
)
→
(
)
u
n
0 und das heißt, dass
u
n
eine
α
,
Nullfolge ist. Dies zeigt die Stetigkeit.
Um die Inversionsformel zu zeigen, betrachten wir vorerst zwei beliebige Funktio-
nen
u
,
R
d
. Mit Hilfe von Lemma 4.8 und den Rechenregeln für Translation und
Modulation aus Lemma 4.5 gilt für die Faltung von
φ
∈S
(
)
u
und
φ
:
(
R
d
e
i
x·y
φ
(
−
u
∗
φ
)(
x
)=
u
(
y
)
φ
(
x
−
y
)
d
y
=
R
d
u
(
y
)
y
)
d
y
)
φ
(
−
∗
φ
)(
−
=
R
d
u
(
y
x
−
y
)
d
y
=(
u
x
)
.
Nun wählen wir
φ
als reskalierte Gauß-Funktion:
)=
ε
−d
e
−
|
x
|
2
)=
ε
−d
φ
ε
(
(
)(
x
D
ε
−
1
id
G
x
.
2
2
ε
Nach der Rechenregel für lineare Koordinatentransformationen aus Lemma 4.5 folgt
φ
ε
=
ε
−
1
id
G
. Nach Lemma 4.14 gilt
G
id
G
und also auch
φ
ε
=
ε
−
d
D
G
und damit
auch
φ
ε
=
φ
ε
.Da
u
insbesondere beschränkt und stetig ist und außerdem
G
positiv ist
sowie ein auf eins normiertes Integral hat, können wir Satz 3.13 anwenden und bekom-
men für
D
=
ε
ε →
0, dass gilt
)
→
u
u
∗
φ
ε
(
x
(
x
)
und
u
∗
φ
ε
(
−
x
)
→
u
(
−
x
)
.
Es folgt also
(
)=
(
−
)
u
x
u
x
.
