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Man beachte, dass wir die Umkehrformel für die Fouriertransformation auch schreiben
können als
u
=
F
u
.
Nach der Rechenregel für die Konjugation aus Lemma 4.5 ergibt sich
u
=
D
u
und
−
id
wenn wir
u
statt
u
einsetzen, folgt insgesamt
−
id
u
=
D
u
=
u
.
Satz 4.16
Es gibt genau einen stetigen Operator
:
L
2
R
d
L
2
R
d
F
(
)
→
(
)
, welcher die Fouriertransforma-
R
d
L
2
R
d
F
S
(
)
∈
(
)
2
=
F
2
erfüllt.
tion
auf
fortsetzt und für alle u
die Gleichung
u
u
F
−
1
Weiterhin ist dieser Operator
F
bijektiv und die Umkehrung
ist eine stetige Fortset-
F
−
1
auf
R
d
S
(
)
zung von
.
R
d
Beweis.
Für zwei Funktionen
u
,
v
∈S
(
)
gilt nach Lemma 4.8 die Gleichung
(
u
,
v
)
2
=(
u
,
v
)
2
2
=
F
2
. Die Fouriertransformation ist also eine auf einer dich-
und insbesondere
u
u
ten Teilmenge des
L
2
R
d
definierte Isometrie. Demnach existiert eine eindeutige stetige
Fortsetzung auf den ganzen Raum. Aufgrund der Symmetrie zwischen
(
)
F
−
1
F
und
li
e-
fert eine analoge Argumentation den Rest der Behauptung.
Bemerkung 4.17
Wie schon eingehend bemerkt, ist die Integralformel
1
e
−
i
ξ·x
d
x
F
(
u
)(
ξ
)=
R
d
u
(
x
)
(
2
π
)
d
/2
L
2
R
d
für eine Funktion
u
∈
(
)
nicht anwendbar, da das Integral nicht existieren muss.
L
2
R
d
∈
(
)
Es gilt jedoch für
u
, dass die Funktion
1
e
−
i
ξ
·
x
d
x
ψ
R
(
ξ
)=
u
(
x
)
(
π
)
d
/2
2
|
|≤
x
R
im Sinne der
L
2
für
R
u
konvergiert. Analoges gilt für die
Umkehrformel. Wir werden in Zukunft diese Unterscheidung unter den Tisch fallen
lassen und auch für
L
2
-Funktionen mit der Integraldarstellung arbeiten.
Die Isometrieeigenschaft
→
∞
Konvergenz gegen
u
2
=
F
u
2
impliziert auch
(
)
2
=(
F
F
)
2
u
,
v
u
,
v
(4.2)
welche unter dem Namen
Plancherel-Formel
bekannt ist.
Die Rechenregeln aus Lemma 4.5, die Symmetrierelationen in Korollar 4.6 und der
Faltungssatz 4.7 gelten natürlich ebenso für die Fouriertransformation auf
L
2
R
d
(
)
, sie-
he auch Abschnitt 4.1.3. Die Umkehrformel ermöglicht uns folgende Interpretation der
Fouriertransformation:
