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Den Medianfilter hatten wir in Abschnitt 3.4.4 nur für Bilder mit diskreter Träger-
menge definiert. Er basierte auf der Idee, die Nachbarpixel zu ordnen. Eine Verallge-
meinerung auf Bilder
u
:
R
d
R
d
sei
→
⊂
R
ist folgende: Für eine messbare Menge
B
med
B
u
(
x
)=
inf
B
⊂B |B
|≥
|
B
|
2
sup
y
u
(
x
+
y
)
.
∈
B
Für diesen Filter gibt es einen Zusammenhang mit dem Mittleren Krümmungsfluss, den
wir in Abschnitt 5.2.2 behandeln werden. Etwas lax kann man sagen, dass die iterierte
Anwendung des Medianfilters mit
B
=
(
)
→
0) einer Bewegung
der Niveau-Linien des Bildes in Richtung der Normalen mit Geschwindigkeit propor-
tional zur mittleren Krümmung der Niveau-Linie entspricht. Für Details verweisen wir
auf [68].
Der Medianfilter beruht in dieser Form auf der Ordnung der reellen Zahlen. Liegt
nun ein Bild
u
:
B
h
0
asymptotisch (für
h
Ω
→
aber nicht geordnetem Farbraum
F
vor, so lässt sich das Konzept des Medians basierend auf der Ordnung nicht über-
tragen. Nicht-geordnete Farbräume treten zum Beispiel bei Farbbildern (z.B.
F
F
mit diskreter Trägermenge
Ω
R
3
)
oder auch in der sogenannten Diffusionstensor-Bildgebung auf, in der
F
die Menge der
symmetrischen Matrizen ist. Ist auf
F
ein Abstand definiert, so kann man folgende Idee
benutzen: Der Median von reellen Zahlen
a
1
,...,
a
n
ist ein Minimierer des Funktionals
=
n
i
=
1
|a − a
i
|
(
)=
F
a
(siehe Übungsaufgabe 3.13). Haben wir auf
F
den Abstand
definiert, so können wir
den Median von
n
„Farbwerten“
A
1
,...,
A
n
als einen Minimierer von
·
n
i
=1
A
−
A
i
F
(
A
)=
definieren. Dass dies zum Beispiel im Falle von Matrizen
A
i
abhängig von der Ma-
trixnorm sinnvolle „Mediane“ definiert, wurde in [143] gezeigt.
3.6 Aufgaben
Aufgabe
3.1 (Translation und lineare Koordinatentransformation auf
L
p
R
d
(
)
)
.
Zeigen Sie, dass
die Operatoren
T
y
und
D
A
für invertierbare Matrizen
A
als lineare Operatoren auf
L
p
R
d
(
)
mit
≤
≤
∞
1
p
wohldefiniert sind. Berechnen Sie die adjungierten Operatoren. Sind die Operatoren
stetig?
Aufgabe
3.2 (Vertauschen von
T
y
und
D
A
)
.
Zeigen Sie folgende Vertauschungsrelation von linea-
ren Koordinatentransformationen und Translationen:
T
y
D
A
=
D
A
T
Ay
.
