Image Processing Reference
In-Depth Information
(Ω
μ
)
Aufgabe
3.3 (Mittelwert eines Bildes im Histogramm)
.
Es sei
,
F
,
ein
σ
-endlicher Maßraum
und
u
:
Ω
→
[
0, 1
]
ein messbares Bild. Zeigen Sie
μ
(Ω)
(
)
=
u
x
d
x
s
d
H
u
.
Ω
0
Aufgabe
3.4 (
L
p
-Funktionen sind stetig im
p
-ten Mittel)
.
L
p
R
d
Es sei 1
≤
p
<
∞
und
u
∈
(
)
.
Zeigen Sie
h
0
−→
→
−
0.
Anders ausgedrückt: Der Verschiebungsoperator
T
h
ist auf
L
p
stetig im Argument
h
.
Hinweis:
Benutzen Sie, dass die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger nach
Satz 2.55 in
L
p
T
h
u
u
p
R
d
(
)
dicht liegen.
Aufgabe
3.5 (Lösung der Wärmeleitungsgleichung)
.
Es sei
G
die
d
-dimensionale Gauß-Funktion
σ
aus (3.2) und
G
√
2
t
(
F
(
t
,
x
)=
x
)
.
>
1.
Zeigen Sie, dass
F
für
t
0 die Gleichung
∂
t
F
=
Δ
F
löst.
Sei
u
0
:
R
d
2.
→
R
beschränkt und stetig. Zeigen Sie, dass die Funktion
u
(
t
,
x
)=(
u
0
∗
F
(
t
,
·
))(
x
)
die Anfangsrandwertaufgabe
∂
t
u
(
t
,
x
)=
Δ
u
(
t
,
x
)
für
t
>
0
R
d
u
(
0,
x
)=
u
0
(
x
)
für
x
∈
löst, letzteres im Sinne von
u
(
0,
x
)=
lim
t→
0
u
(
t
,
x
)
.
Aufgabe
3.6 (Rotationsinvarianz des Laplaceoperators)
.
Zeigen Sie, dass der Laplace-Operator
d
i
=
1
2
∂
Δ
=
x
i
∂
rotationsinvariant in
R
d
ist, d.h. für jedes zweimal stetig differenzierbare
u
:
R
d
→
R
und jede
∈
O
d
(
)
(Δ
)
◦
= Δ(
◦
)
Rotation
R
.
Zeigen Sie weiterhin, dass jeder rotationsinvariante lineare Differentialoperator
D
der Ord-
nung
K
R
gilt
u
R
u
R
≥
1 von der Form
∂
α
∂
=
∑
|α|≤
D
c
α
x
α
K
keine Terme ungerader Differentiationsordnung aufweist, d.h. es ist
c
α
=
0 für alle Multiindizes
α
mit ungeradem
|
α
|
.
