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3.5 Weitere Entwicklungen
Obwohl dieses Kapitel grundlegende Methoden behandelt, lohnt es sich, im Anschluss
weitere Entwicklungen in diesem Feld zu behandeln. Insbesondere im Bereich der li-
nearen Filter gibt es nennenswerte Weiterentwicklungen. Eine Anfangsmotivation für
lineare Filter war das Entrauschen von Bildern. Jedoch hatten wir schnell eingesehen,
dass dies mit linearen Filtern nicht besonders gut funktioniert, da insbesondere Kan-
ten nicht erhalten bleiben können. Um hier Abhilfe zu schaffen, besinnen wir uns auf
die Idee aus Beispiel 3.12: Das Rauschen sollte durch das Bilden von lokalen Mittelwer-
ten reduziert werden. Das Verwischen der Kanten kann dann dadurch erklärt werden,
dass der Mittelwert in der Nähe der Kante die Grauwerte auf beiden Seiten der Kante
berücksichtigt. Der Einfluss der Pixel auf „der anderen Seite der Kante“ kann dadurch
behoben werden, dass wir in der Mittelung nicht nur die räumliche Nähe, sondern auch
die Nähe der Grauwerte einbeziehen. Der sogenannte
Bilateralfilter
macht dies wie folgt:
Zu einem gegebenen Bild
u
:
R
d
R
und zwei Funktionen
h
:
R
d
→
→
→
R
und
g
:
R
R
berechnet er ein neues Bild durch:
R
d
u
(
y
)
h
(
x
−
y
)
g
(
u
(
x
)
−
u
(
y
))
d
y
R
d
h
(
)=
.
B
h
,
g
u
x
(
−
)
(
(
)
−
(
))
x
y
g
u
x
u
y
d
y
Die Funktion
h
gibt also das Gewicht für den Grauwert
u
(
y
)
abhängig von der
Ent-
−
(
)
fernung x
y
an, während die Funktion
g
das Gewicht für den Grauwert
u
y
ab-
hängig von der
Ähnlichkeit der Grauwerte u
(
x
)
und
u
(
y
)
angibt. Der Faktor
k
(
x
)=
(
R
d
h
)
−
1
ist ein Normalisierungsfaktor, der dafür sorgt, dass
sich die Gewichte in jedem Punkt
x
zu eins aufintegrieren. Er ist bei den linearen Fil-
(
x
−
y
)
g
(
u
(
x
)
−
u
(
y
))
d
y
tern nicht von
x
abhängig und üblicherweise wird
R
d
h
1 gefordert. Der Name
„Bilateralfilter“ geht auf Tomasi und Manduchi zurück [137]. Nimmt man für
h
und
g
Gauß-Funktionen, so nennt man den Filter nach Aurich und Weule auch „Nicht-
linearen Gauß-Filter“ [12]. Im Fall von charakteristischen Funktionen
h
und
g
ist der
Filter auch unter dem Namen SUSAN bekannt [131]. Die wahrscheinlich früheste Re-
ferenz für Filter dieser Art ist Yaroslavski [147]. Der Bilateralfilter zeigt hervorragende
Eigenschaften zum kantenerhaltenden Entrauschen, siehe Abbildung 3.18. Eine naive
Diskretisierung der Integrale zeigt jedoch einen Nachteil: Der Rechenaufwand ist we-
sentlich höher als für lineare Filter, da der Normalisierungsfaktor für jeden Punkt
x
neu
berechnet werden muss. Methoden zur Steigerung der Effizienz werden zum Beispiel
im Übersichtsartikel [109] behandelt.
Noch etwas weiter als der Bilateralfilter gehen die sogenannten
Nicht-lokalen Mittel-
werte
[25]. Hier wird die Mittelung nicht über Werte gemacht, die nah dran sind und
einen ähnlichen Grauwert haben, sondern über Werte die
eine ähnliche Umgebung
ha-
ben. Mathematisch wird dies wie folgt realisiert: Zu einem Bild
u
:
R
d
(
y
)
d
y
=
→
R
und einer
Funktion
g
:
R
d
→
R
definiert man die Funktion
2
d
t
.
(
)=
(
)
|
(
+
)
−
(
+
)
|
h
x
,
y
R
d
g
t
u
x
t
u
y
t
Als Funktion
g
kommt zum Beispiel wieder eine Gauß-Funktion oder die charakteris-
tische Funktion eines Balles um den Ursprung in Frage. Die Funktion
h
hat dann einen
