Image Processing Reference
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2
r
+1
×
2
s
+1
∈{
}
Wir kodieren das Strukturelement
B
durch eine Binärmatrix
B
0, 1
ungerader Größe, die ebenso wie in Abschnitt 3.3.3 indiziert sei:
⎡
⎤
···
B
B
−r
,
−s
−r
,
s
⎣
⎦
.
.
B
=
.
B
0,0
B
r
,
−s
···
B
r
,
s
=
(
)
(
)=
Dabei bedeutet
B
i
,
j
1, dass
i
,
j
zum Strukturelement gehört und
i
,
j
0 heißt, dass
(
i
,
j
)
nicht im Strukturelement ist. Erosion und Dilatation sind dann wie folgt definiert:
u
i
+
k
,
j
+
l
(
(
)
i
,
j
=
{
)
mit
B
k
,
l
=
}
u
B
min
k
,
l
1
u
i
+
k
,
j
+
l
(
(
⊕
)
i
,
j
=
{
)
=
}
u
B
max
k
,
l
mit
B
k
,
l
1
.
Die diskrete Erosion und Dilatation erfüllen alle Eigenschaften der kontinuierlichen Va-
rianten aus Satz 3.29. Bei der Kompositionseigenschaft
(
u
B
)
C
=
u
(
B
+
C
)
,
(
u
⊕
B
)
⊕
C
=
u
⊕
(
B
+
C
)
2
r
+1
×
2
s
+1
2
u
+1
×
2
v
+1
ist für Strukturelemente
B
∈{
0, 1
}
und
C
∈{
0, 1
}
die Summe
B
+
2
(
r
+
u
)+
1
×
2
(
s
+
v
)+
1
C
∈{
0, 1
}
definiert durch
⎧
⎨
1
falls
(
k
,
l
)
mit
B
k
,
l
=
1 und
(
n
,
m
)
mit
C
n
,
m
=
1 und
(
B
+
C
)
i
,
j
=
(
+
+
)=(
)
k
n
,
l
m
i
,
j
existieren,
⎩
0
sonst.
Bemerkung 3.41
(Effizienzsteigerung von Erosion und Dilatation)
Um Erosion bzw. Dilatation in einem Pixel auszuwerten, muss bei einem Strukturele-
ment mit
n
Elementen das Minimum bzw. Maximum von
n
Zahlen gefunden werden,
was mit
n
−
1 paarweisen Vergleichen möglich ist. Setzen wir weiterhin voraus, dass
das Bild
NM
Pixel hat und dass die Randfortsetzung vernachlässigbaren Aufwand be-
deutet. Dann sehen wir, dass wir für die Anwendung einer Erosion oder Dilatation
(
NM
paarweise Vergleiche benötigen. Auf Grund der Kompositionseigenschaft
aus Satz 3.29 können wir die Effizienz in bestimmten Fällen steigern.
Bestehen
B
und
C
aus jeweils
n
bzw.
m
Elementen, so kann
B
n
−
1
)
+
C
aus höchs-
tens
nm
Elementen bestehen. Für die Berechnung von
u
(
B
+
C
)
benötigen wir al-
so im schlimmsten Fall
(
−
)
nm
1
NM
paarweise Vergleiche. Berechnen wir hingegen
(
NM
paarweise Vergleiche. Dass dies auch
schon bei mäßig großen Strukturelementen einen beträchtlichen Unterschied ausma-
u
B
)
C
, so benötigen wir nur
(
n
+
m
−
2
)
