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chen kann, zeigt folgendes Beispiel. Wir lassen hierbei Nullen am Rand des Strukturele-
ments weg bezeichnen den Mittelpunkt eines Strukturelements mit einem Unterstrich:
1
1
B
1
+
1
01
B
2
+
1000
1
=
1111
1
111
B
3
⎡
⎣
⎤
⎦
11111111
11111111
11111111
11111111
1111
1
111
11111111
11111111
11111111
B
1
+
B
2
+
B
3
)=
+
+
+(
B
1
B
2
B
3
.
×
Die Erosion mit einem 8
8 Quadrat (64 Elemente, 63 paarweise Vergleiche) kann also
auf 6 Erosionen mit zweielementigen Strukturelementen (6 paarweise Vergleiche) zu-
rückgeführt werden.
Die weiteren morphologischen Operatoren (Öffnen, Schließen, Hit-or-Miss, Top-
Hat-Transformationen) ergeben sich als Kombination. Ihre Eigenschaften sind analog
zu den kontinuierlichen Versionen.
In der diskreten Variante gibt es eine wirkungsvolle Verallgemeinerung von Erosion
und Dilatation. Für ein Strukturelement mit
n
Elementen wird in jedem Pixel des Bildes
der kleinste Grauwert genommen, der vom Strukturelement getroffen wird, während
die Dilatation den größten nimmt. Die Idee der Verallgemeinerung ist das Sortieren der
durch das Strukturelement maskierten Bildwerte und das anschließende Ersetzen durch
den
n
-ten Bildwert innerhalb dieser Rangordnung. Diese Filter heißen Rangordnungs-
filter (Rank-Order Filter).
Definition 3.42
Sei
B
2
r
+1
×
2
s
+1
∈{
}
≥
0, 1
ein Strukturelement mit
n
1 Elementen. Die Elemente seien
durch
I
=
{
(
k
1
,
l
1
)
,...,
(
k
n
,
l
n
)
}
indiziert, das heißt,
B
k
,
l
=
1 genau dann, wenn
(
k
,
l
)
∈
R
n
(
)
(
)
∈
I
. Mit sort
a
1
,...,
a
n
sei die nicht-fallende Umordnung des Vektors
a
1
,...,
a
n
bezeichnet. Der
m-te Rangordnungsfilter
eines beschränkten Bildes
u
:
Z
2
→
R
ist dann
gegeben durch
(
u
m
B
)
i
,
j
=
sort
(
u
i
+
k
1
,
j
+
l
1
,...,
u
i
+
k
n
,
j
+
l
n
)
m
.
=
=
Für
k
1 bzw.
k
n
ergeben sich Erosion bzw. Dilatation:
u
1
B
=
u
B
,
u
n
B
=
u
⊕
B
.
Ist
n
ungerade, so heißt sort
)
(
n
+
1
)
/2
der
Median
der Werte
a
1
,...,
a
n
. Der da-
zu assoziierte Rangordnungsfilter bildet also punktweise den Median über die durch
B
maskierten Elemente. Er ähnelt damit dem gleitenden Mittel aus Abschnitt 3.3.3, nimmt
aber den Median statt des Mittelwertes und wird deswegen auch
Medianfilter
genannt.
(
a
1
,...,
a
n
