Zellularautomaten und Boolesche Netze - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 54

Etwas komplizierter ist der Fall bei der Implikation. Hier kann man sich die Tatsache zunutze
machen, dass die Aussage „a o b“ (a impliziert b) logisch äquivalent ist der Aussage „a b“
(nicht a oder b). Das Zeichen „“ symbolisiert die Negation, die die Wahrheitswerte einer
Aus-sage einfach umdreht, das Zeichen symbolisiert die Disjunktion. Dass dem so ist, kann
man durch die entsprechenden Wahrheitsmatrizen für beide Aussagen leicht überprüfen. Die
Implikation ist dann und nur dann falsch, wenn a wahr ist und b falsch. Dies entspricht folgen-
dem Schaltkreis:
Bild 2-15 Schaltkreis mit dem logischen Operator Implikation
In einem physikalisch realen Schaltkreis gibt es natürlich keine Negation im logischen Sinne
als eigenständiger Operator. Die Negation kommt in der realen Welt sozusagen nicht vor, son-
dern ist eine sprachliche Beschreibung dafür, dass etwas nicht vorliegt bzw. nicht stattfindet.
Also braucht man neben den Einheiten a und b noch eine zusätzliche Einheit a, die dadurch
definiert ist, dass sie immer den gegensätzlichen Zustand von a hat. Ist a offen, dann ist a
geschlossen und umgekehrt. Nachrechnen zeigt, dass der Schaltkreis sich in der Tat so verhält,
wie es der Definition der Implikation entspricht.
Da die Äquivalenz als eine Zusammensetzung zweier Implikationen verstanden werden kann,
ist der entsprechende Schaltkreis dem der Implikation nicht zufällig ziemlich ähnlich, nur dass
man hier zwei „negierte“ Einheiten braucht, also insgesamt vier:
Bild 2-16 Schaltkreis mit dem logischen Operator Äquivalenz
Die XOR-Funktion schließlich, der wir im Kapitel über neuronale Netze wieder begegnen
werden, ist eine Variante der Disjunktion, wobei man allerdings wie bei der Äquivalenz wieder
vier formale Einheiten braucht. Das hängt mit dem P-Wert dieser beiden Funktionen zusam-
men, der, wie erinnerlich, jeweils P = 0.5 ist. Das entsprechende Schaltdiagramm sieht folgen-
dermaßen aus:
Bild 2-17 Schaltkreis mit dem logischen Operator XOR