Zellularautomaten und Boolesche Netze - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren

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Beispiel, wo b auf die anderen Einheiten einwirkt, selbst aber nicht durch andere beeinflusst

wird, ergibt dies einfache Dynamiken. Etwas präziser ausgedrückt: 0 < v d 0.2 erzeugt kom-

plexe Dynamiken, v > 0.2 generiert nur noch einfache Dynamiken.

Eine „entropische“ Darstellung dieses Maßes ist

S v = log >(¦OD i )!@ - ¦log (OD i !),

(2.17)

was hier nicht weiter kommentiert zu werden braucht.

Ein Sonderfall des v-Parameters lässt sich dadurch berechnen, dass man die Anzahl der Senken

bestimmt, d. h. der Elemente mit outdegree OD = 0 und indegree ID > 0. Je größer die Anzahl

der Senken ist, desto einfacher ist die Dynamik des BN, da Senken die v-Werte vergrößern

(Klüver und Schmidt loc. cit.). Senken sind also Elemente eines Netzes, auf die Wirkungen

ausgeübt werden, die selbst jedoch auf keine anderen Elemente einwirken.

Um dies zu verdeutlichen, werden folgende Beispiele betrachtet, wobei lediglich die Innengra-

de, also Anzahl der eingehenden Kanten, ID berücksichtigt werden:

Die dazugehörigen Adjazenzmatrizen (hier abweichend als j o i definiert) sind:

0001

0010

0101

1010

0001

1110

0111

0000

1110

0011

0010

0100

1100

Die Spaltenvektoren ID neben den Adjazenzmatrizen geben die Zahl der eingehenden Kanten

(Innengrade ID) an: man sieht sofort, dass sich die Inzidenzen im Falle der 2. und 3. Struktur

stärker bei einzelnen Knoten kumulieren; der Extremfall ist bei der Struktur 3 (bei Knoten a

und d) erreicht.

Der v-Parameter kann nun so berechnet werden, dass v = 0 für den Fall größtmöglicher

Gleichverteilung der Inzidenzen (Struktur 1) gilt und v = 1 für den Fall größtmöglicher Un-

gleichverteilung (Struktur 3). Dazu wird folgendes Verfahren angewendet:

1. Man ordnet die Elemente der ID-Vektoren absteigend (bei Struktur 1: [2 2 1 1]) und

2. man berechnet

v = «(S - S min ) «/ «(S max - S min ) «,

(2.18)

wo S den umgeordneten ID-Vektor der zu charakterisierenden Struktur bezeichnet, und S min

bzw. S max entsprechend zum Fall größtmöglicher Gleichverteilung resp. Ungleichverteilung

gehören. Damit ergeben sich für die obigen Fälle folgende v-Werte:

v = 0

v =

v = 1

v = 0

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