Zellularautomaten und Boolesche Netze - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 40

Wie man sieht, ist die Abbildung der Strukturen auf v nicht injektiv: Verschiedene Strukturen
können gleiches v liefern. v charakterisiert nicht die Struktur an sich, sondern nur das Ausmaß
der Verteilung der Inzidenzen. 6 Streng genommen dürfen v-Werte nur für Digraphen mit glei-
cher Anzahl von Knoten und Kanten verglichen werden; die Werte sind aber mit einiger Vor-
sicht auch für unterschiedlich große und dichte Digraphen anwendbar.
Nach unseren didaktischen Erfahrungen ist der v-Parameter für Studierende ohne graphen-
theoretische Vorkenntnisse häufig nicht einfach zu verstehen. Wir haben deswegen eine zweite
Version entwickelt, die - etwas vereinfacht gesprochen - von der Varianz einer sog. Wirkungs-
menge ausgeht. Damit ist Folgendes gemeint:
Jede Einheit eines BN kann durch die Anzahl der Wirkungen charakterisiert werden, die von
dieser Einheit auf andere Einheiten ausgeübt werden. Bei n Einheiten eines BN ergibt sich
daraus eine Menge von n natürlichen Zahlen (einschließlich der Null); jede dieser Zahlen re-
präsentiert die Anzahl der Wirkungen einer Einheit auf andere Einheiten. Dies ist die Wir-
kungsmenge des entsprechenden BN. Wenn man nun die Varianz dieser Menge berechnet,
erhält man dadurch - wie in der ersten Version des v-Parameters - ein Maß dafür, wie ungleich
die Wirkungen von Einheiten auf andere in dem BN verteilt sind. Inhaltlich misst also diese
Festlegung das Gleiche wie der ursprüngliche v-Parameter.
Allerdings hat diese Definition noch einen Schönheitsfehler: Die Varianz einer derartigen
Menge kann auch wesentlich größer sein als 1. Deswegen muss - analog wie bei der Original-
version des v-Parameters - noch eine Normierung vorgenommen werden. Diese besteht darin,
dass sowohl die faktische Varianz als auch die maximale und minimale Varianz bestimmt
werden - wieder analog zum „ersten“ v-Parameter. Daraus ergibt sich die folgende Berech-
nungsformel:

v new (VAR(OD) VAR(OD min )) / (VAR(OD max ) VAR(OD min ))

(2.19)

Mathematisch ist die neue Version offenbar nicht wesentlich einfacher als die alte; inhaltlich
jedoch können vermutlich mehr Leser etwas mit dem Begriff der Varianz etwas anfangen als
mit den graphentheoretischen Definitionen. Unsere Untersuchungen haben ergeben, dass in der
Tat die neue Version in etwa der alten äquivalent ist: Kleine, mittlere und hohe Werte sind für
beide Versionen bei entsprechenden BN jeweils gleichermaßen festzustellen, d. h. kleine Werte
der einen Version entsprechen kleinen Werten der anderen etc. Das ist auch zu erwarten, da
inhaltlich beide Definitionen die gleiche Charakteristik von BN messen.
Die zweite Definition des v-Parameters legt es nahe, eine gewissermaßen komplementäre Ver-
sion einzuführen. Gemeint ist damit, dass eine zweite „Wirkungsmenge“ definiert wird, bei der
für jede Einheit eines BN die Anzahl der Elemente angegeben wird, die auf das Element ein-
wirken. Eine Menge dieser Art W = (1,2,2) für ein BN mit drei Elementen würde also bedeu-
ten, dass das erste Element von einem anderen Element beeinflusst wird und die beiden ande-
ren Elemente von jeweils den beiden anderen (sofern man hier die möglichen Einwirkungen
eines Elements auf sich selbst nicht mit zählt). Wenn man jetzt wieder die Varianz dieser zwei-
ten Menge W berechnet, dann könnte ein ähnlicher Zusammenhang zwischen der Varianz und
der Dynamik des BN festgestellt werden. Wir untersuchen gegenwärtig diese Möglichkeit und

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Für andere Arten des Strukturvergleichs können ähnliche Parameter, z. B. auch mit Berücksichtigung
der ausgehenden Kanten oder der Anzahl der Zyklen oder Hamiltonzyklen im Digraphen, definiert
werden - dies nur als Hinweis für graphentheoretisch etwas beschlagene Leser/innen.