Zellularautomaten und Boolesche Netze - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 37

Der P-Parameter, der von den Physikern Weissbuch und Derrida (Kauffman 1993) gefunden
worden ist, wirkt sich folgendermaßen aus: 0.5 d P d 0.63 erzeugt relativ komplexe Dynami-
ken, d. h. Attraktoren mit langen Perioden und häufig ebenfalls langen Vorperioden. Größere
P-Werte generieren einfache Dynamiken mit meistens Punktattraktoren. Die Wahrscheinlich-
keit komplexer Dynamiken ist demnach wesentlich geringer als die einfacher, die bei 0.64 d P
d 1 generiert werden. Zu beachten ist freilich, dass komplexe Dynamiken nur bei bestimmten
Anfangszuständen erreicht werden können. Wenn man einmal mit dem Game of Life experi-
mentiert, wird man rasch feststellen, dass bei den meisten Anfangszuständen nur einfache
Attraktoren (Periode 1 oder 2) mit geringen Vorperioden realisierbar sind. Der Wert des P-
Parameters gibt also nur die prinzipiellen Möglichkeiten an, die ein System dynamisch realisie-
ren kann.
Eine kleine Denksportaufgabe: Bestimmen Sie den P-Wert für das Game of Life.
Langton (1992) hat einen zu P äquivalenten Parameter für Zellularautomaten untersucht, näm-
lich den sog. O-Parameter. Dieser ist folgendermaßen definiert:
O = (k n - r)/k n (2.15)
mit 0 d O d 1, wobei k die Anzahl der möglichen Zellenzustände ist, n die Größe der Umge-
bung und r die Anzahl der Regeln für den jeweiligen ZA. Als wichtigstes Ergebnis kann fest-
gehalten werden, dass niedrige Werte dieses Parameters einfache Dynamiken generieren -
einfach im oben beschriebenen Sinne - und dass bei ständiger Erhöhung der O-Werte der ZA
sich von der Wolframklasse 1 sukzessive in die Klassen 2, 4 und 3 transformiert. Die letzten
beiden Klassen werden jedoch nur in sehr geringen Wertebereichen von O erreicht. Man kann
erkennen, dass die beiden Parameter in dem Sinne äquivalent sind, dass sie beide die proporti-
onalen Verteilungen der Zustandswerte messen, die durch die jeweiligen lokalen Regeln bzw.
Booleschen Funktionen im Falle binärer BN realisiert werden.
Ein anderer Ordnungsparameter ist der von Kauffman (1993) entdeckte C-Parameter, der die
Anzahl der sog. kanalisierenden Booleschen Funktionen in einem BN misst. Eine kanalisieren-
de Funktion ist eine Boolesche Funktion, bei der ein bestimmter - nicht jeder! - Wert einer
einzigen Variablen ausreicht, um das Gesamtergebnis festzulegen. Diese Variable lenkt die
Funktionsdynamik sozusagen in einen festen Kanal - daher der Name. Kanalisierende Funkti-
onen können in einer graphischen Darstellung erkannt werden dadurch, dass die Knoten bei K
= 2 bzw. eine Würfeloberfläche bei K = 3 dieselben Werte haben (Klüver und Schmidt 1999):
Bild 2-6 Graphische Darstellung zur Erkennung von kanalisierenden bzw. nicht kanalisierenden
Funktion bei K = 2 und K = 3
Eine kanalisierende Funktion ist z. B. die Konjunktion: Wenn nur eine Variable den Wert 0
hat, dann ist das Ergebnis immer 0; entsprechend kanalisierend wirkt die Disjunktion, da hier
nur eine - beliebige - Variable 1 sein muss, um das Ergebnis immer auf 1 zu bringen. XOR ist