Bottom-up Modelle, Soft Computing und komplexe Systeme - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 8

Nennen wir die Gesamtheit aller Regeln der lokalen Wechselwirkung f und die n-fache Iterati-
on f n , dann gilt
f n (Z 1 ) = Z n-+1 . (1.3)

Ein Punktattraktor Z a der Trajektorie lässt sich jetzt definieren als
f n (Z a ) = Z a (1.4)
für beliebige n; Punktattraktoren werden auch als Attraktoren mit der Periode k = 1 bezeichnet.
Anschaulich gesprochen sind Punktattraktoren also Zustände, die sich nicht mehr ändern, ob-
wohl die Regeln der Wechselwirkungen weiter in Kraft sind.
Entsprechend lassen sich Attraktoren mit Perioden k > 1 definieren:
Sei K eine Menge der Mächtigkeit k, d. h., K = ^1,2,..,k` und i K. Dann gilt für jedes i
f k (Z i ) = Z i .

(1.5)

Durch die Periode der Länge k wird demnach ein Segment im Zustandsraum bestimmt, d. h.
ein zyklischer Teil der Gesamttrajektorie; Periode k bedeutet also einfach, dass ein Zustand Z i
im Attraktor nach k Schritten wieder erreicht wird. Der Teil der Trajektorie vor Erreichen eines
Attraktors ist die Vorperiode (des Attraktors).
Zur Illustration folgt eine Trajektorie des obigen Räuber-Beute Systems; die x-Achse repräsen-
tiert die Anzahl der Füchse, die y-Achse die Anzahl der Gänse:

Bild 1-3a Die Trajektorie des Räuber-Beute-Modells