Fuzzy-Mengenlehre und Fuzzy-Logik - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 169

Wir haben übrigens bei der Definition der neuen Operatoren auf die Unterscheidung zwischen
mengentheoretischen und logischen Operatoren verzichtet, da ihre Definition ein und dieselbe
ist. Natürlich heißt das nicht, dass wir damit erklären wollen, dass Logik und Mengenlehre
identisch sind.
Mathematisch gesehen führt die Tatsache, dass bei manchen Erweiterungen, d. h. unterschied-
lichen Möglichkeiten der Berechnung der jeweiligen P-Werte bestimmte mengentheoretische
Gesetze gelten, aber manche nicht, zu unterschiedlichen Fuzzy-Mengentheorien und Fuzzy-
Logiken. Man muss deshalb immer genau angeben, mit welchen Versionen aus welchen Grün-
den man jeweils arbeitet; das jedoch ist in der Wissenschaft ohnehin eine Selbstverständ-
lichkeit.
Es sei noch eine kleine Zusatzbemerkung für mathematisch Interessierte gegeben:
Die Definitionen des Rechnens mit unscharfen Zahlen zeigen, dass wir mit diesen Überlegun-
gen in einen wohl bekannten und traditionsreichen Zweig der Mathematik zurückkehren, näm-
lich dem der algebraischen Topologie. Das Rechnen mit unscharfen Zahlen ist nämlich eigent-
lich das Rechnen mit ihren „Umgebungen“, d. h. den Unschärfeintervallen. Dies ergibt eine
Kombination von algebraischen und topologischen Strukturen. So ist es z. B. leicht möglich,
einen unscharfen Morphismus zu bestimmen, d. h. eine Abbildung, die Unschärfen von der
Urmenge gewissermaßen in die Bildmenge transportiert, indem topologische Relationen inner-
halb von Unschärfeintervallen erhalten bleiben. Beispielsweise kann man die Definition der
unscharfen Addition als eine derartige Abbildung verstehen. In dem Sinne lassen sich unschar-
fe Morphismen als ein Spezialfall von Homoeomorphismen auffassen, die in der allgemeinen
Topologie verwendet werden. Außerdem kann man einen Morphismus, der die Relationen
zwischen den Unschärfewerten von zwei unscharfen Mengen erhalten soll, weitgehend ähnlich
definieren, wie Morphismen zwischen Verbänden oder anderen algebraischen Strukturen.
Weiter soll das allerdings nicht ausgeführt werden, da wir damit aus dem Bereich des Soft
Computing herauskommen und uns mit strukturtheoretischer Mathematik beschäftigen müss-
ten. Aus diesem Hinweis sollten Sie auch „nur“ lernen, dass unscharfe Mathematik eigentlich
nichts Geheimnisvolles ist, sondern dass man dabei nicht selten auf - für mathematische Ken-
ner - gute alte Bekannte stoßen kann. 1

5.4 Unscharfe Relationen

Bei unserem Ausflug in die Welt des Unscharfen sei zusätzlich kurz die Möglichkeit behandelt,
mit unscharfen Relationen zu arbeiten. Dies ist besonders für die Konstruktion von
Programmen relevant, die mit so genannten Inferenzregeln arbeiten, also Regeln, die logische
Schlüsse ausführen (Inferenz lässt sich mit „Ableitung“ im logischen Sinne übersetzen).
Derartige Systeme sind insbesondere die so genannten Expertensysteme; wir werden dies unten
an einem Beispiel erläutern.
Unscharfe Relationen sind gewissermaßen wieder nur Erweiterungen der klassischen logischen
Pendants.
Aus der scharfen Relation x = y für reelle Zahlen wird dadurch beispielsweise die Relation „x
ist ungefähr gleich y“, was durch eine Zugehörigkeitsfunktion der Art

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Dies haben wir etwas ausführlicher in unserer erwähnten Einführung in die „Mathematisch-logischen
Grundlagen der Informatik“ behandelt.