Fuzzy-Mengenlehre und Fuzzy-Logik - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 168

Eine zweite Möglichkeit ergibt sich folgendermaßen:
(b) Algebraisches Produkt:

P A B (x) = P A (x) P B (x). (5.23)
Schließlich kann man noch das so genannte beschränkte Produkt verwenden, das etwas
missdeutbar so heißt:
(c) Beschränktes Produkt:

P A B (x) = max(0, (P A (x) + P B (x) - 1)). (5.24)

In der Praxis werden meistens die Definitionen (a) und (b) verwendet.
Das logische ODER bzw. die Vereinigung unscharfer Mengen hatten wir definiert als
(a) Maximum:

P A B (x) = max(P A (x), P B (x)). (5.25)

Alternative Möglichkeiten sind
(b) Algebraische Summe:

P A B (x) = P A (x) + P B (x) - P A (x) P B (x). (5.26)

Schließlich kann man auch mit der so genannten beschränkten Summe arbeiten.
(c) Beschränkte Summe:

P A B (x) = min(1, (P A (x) + P B (x)). (5.27)

Die Begriffe „algebraische Summe“ bzw. „Produkt“ etc. beschreiben also unterschiedliche
Möglichkeiten, die Unschärfewerte der Ergebnisse von Mengenoperationen bzw. logischen
Kombinationen von Aussagen zu berechnen; im Gegensatz zu den üblichen Verwendungen
von „Summe“ oder „Produkt“ handelt es sich also nicht um die algebraischen Operationen.
Eine Bestimmung von unscharfen logischen Schlussfolgerungen finden Sie unten.
Eine unscharfe bzw. Fuzzy-Logik ist demnach insbesondere dadurch charakterisiert, dass es
nicht genau zwei Werte („wahr“ und „falsch“) gibt, sondern im Prinzip beliebig viele. Natür-
lich ist es in der Praxis fast immer ausreichend, nur eine kleine Menge an Werten zur Verfü-
gung zu haben. Es sei hier nur generell darauf hingewiesen, dass Logikerweiterungen praktisch
immer darauf hinauslaufen, die Anzahl der möglichen Wahrheitswerte für die Aussagen und
deren Kombinationen zu erhöhen.
In diesem Zusammenhang muss auch noch auf Folgendes verwiesen werden: Bei Erweiterun-
gen eingeführter mathematische Begriffe achtet man normalerweise darauf, dass die erweiter-
ten Begriffe den gleichen Gesetzmäßigkeiten unterliegen wie die ursprünglichen engeren. Wir
haben z. B. gesehen, bzw. Sie sollten sich selbst überlegen, dass die Gesetze der klassischen
Mengenoperationen auch gelten, wenn man die beiden Definitionen (a) für Durchschnitt und
Vereinigung verwendet, also insbesondere die Distributivgesetze und die De-Morganschen-
Regeln.
Entsprechend kann man leicht zeigen, dass die Gesetze der „scharfen“ Arithmetik für die Defi-
nitionen der unscharfen Zahl und der entsprechenden Rechenoperationen gelten. Ob dies auch
für die zusätzlichen Definitionen bei Durchschnitt und Vereinigung gilt, ist von vornherein
nicht ausgemacht, sondern muss - falls sie gelten - in jedem Fall speziell bewiesen werden.
Tatsächlich gelten einige der bekannten Gesetze der scharfen Mengenlehre bei den alternativen
Definitionen so nicht, was wir hier nicht im Detail vorführen wollen.