Fuzzy-Mengenlehre und Fuzzy-Logik - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 170

P R (x, y) = e -(x -y)2

(5.28)

ausgedrückt werden kann.
Bei der Implikation, also der Inferenzregel „wenn, dann“, kann diese Erweiterung zur „Fuzzy-
Implikation“ beispielsweise so aussehen:
>wenn X ein A, dann Y ein B@ (x, y)
= Impl(P A (x), P B (y))
= min(1, 1 - (P A (x) + P B (y)). (5.29)
Eine unscharfe Relation ist nichts anderes als eine Teilmenge eines cartesischen Produkts von
unscharfen Mengen. Den Unterschied zwischen unscharfen und scharfen Relationen kann man
sich deshalb leicht auch an einer Matrizen-Darstellung klar machen: Während scharfe Relatio-
nen durch binäre Matrizen repräsentiert werden, wie die bei Booleschen und neuronalen Net-
zen thematisierten Adjazenzmatrizen, sind die Matrixelemente bei unscharfen Relationen reelle
Zahlen, nämlich P-Werte; sie ähneln damit den Gewichtsmatrizen bei neuronalen Netzen.
Diese Ähnlichkeit ist natürlich nicht zufällig, da die Gewichtswerte bei neuronalen Netzen
beschreiben, ob eine Informationsübertragung „mehr oder weniger“ stark - oder gar nicht -
durchgeführt wird.
Nehmen wir wieder ein sehr einfaches Beispiel, die unscharfe Relation „ist Käufer von“ zwi-
schen der Menge B {Verkäuferin, Lehrerin, Manager}, die jeweils bestimmte P-Werte in der
unscharfen Menge „ Besserverdienende “ besitzen, und der Menge L {Twingo, Passat, A8} in
der unscharfen Menge „ Luxusautos “. Die Relation könnte etwa durch diese Matrix-
Darstellung ausgedrückt werden:

0.9 0.1 0.1

§ ·

¨ ¸

0.5 0.5 0.0 ,

(5.30)

¨ ¸

¨ ¸

0.0 0.1 0.9

© ¹

wobei die Elemente von B in den Zeilen, die von L in den Spalten eingetragen sind; die Werte
in der Relations-Matrix stehen natürlich in bestimmten Beziehung zu den jeweiligen Zugehö-
rigkeitswerten zu den Grundmengen. Hiermit werden wir uns aber nicht weiter befassen, da es
nun um die Verkettung von Relationen gehen soll.
Bei prädikatenlogisch oder auch mengentheoretisch formulierten Inferenzregeln geht es stets
darum, bestimmte Relationen zwischen den einzelnen Teilen eines logischen Schlusses herzu-
stellen wie z. B. bei den Klassenbildungen in Syllogismen 2 ; dabei handelt es sich dann um
Relationen von Relationen, nämlich den Klassen. Wenn man nun nur unscharfe Relationen zur
Verfügung hat, wie in vielen Wissensbereichen, müssen natürlich auch die P-Werte für deren
Kombination berechnet werden können.
Die wichtigste Technik dabei ist die so genannte Max/Min-Methode bzw. Max-min-Verket-
tung. Sie ist eine Anwendung der Verknüpfungsregel für unscharfe Relationen, die für scharfe
Relationen üblicherweise so definiert ist, dass man mehrere Relationen in einer bestimmten
Reihenfolge, nämlich von rechts nach links, nacheinander anwendet.

2

Wenn man einen klassischen Syllogismus als Beispiel nimmt wie etwa „Alle Hunde sind Säugetiere“
und „alle Säugetiere sind Wirbeltiere“ und daraus schließen kann „alle Hunde sind Wirbeltiere“, dann
beruht die Gültigkeit dieses Schlusses darauf, dass drei logische Klassen, nämlich „Hunde“, „Säuge-
tiere“ sowie „Wirbeltiere“ in bestimmten Beziehungen - Relationen - zueinander stehen.