Fuzzy-Mengenlehre und Fuzzy-Logik - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 163

Ist die ZGF z. B. dreiecksförmig und symmetrisch mit P N (a) = 1 und a - l = r - a (siehe oben),
dann gilt:
P N (x) = 0 für x d l ,
P N (x) = 0 für x t r und
P N (x) = 1 - «(a - x) «/ (a - l ). (5.16)
Man kann mit unscharfen Zahlen prinzipiell ebenso rechnen wie mit den gewohnten scharfen
Zahlen. Für die Addition zweier unscharfer Zahlen N und M gilt folgende Definition:
N + M = {((z), P N+M (z))} mit (x,y) NuM und
P N+M (z) = sup[min(P N (x), P M (y))| x,y R x + y = z] (5.17)

wobei natürlich auch N = M für die Addition zugelassen ist.
Entsprechend lässt sich eine „unscharfe“ Multiplikation definieren:

N M = {((z), P N M (z))} mit (x,y) N u M und

P N M (z) = sup[min(P N (x), P M (y))| x,y R x y = z] (5.18)

sowie die Multiplikation einer unscharfen Zahl N mit einer scharfen Zahl c:
c N = {(c x), P N (x)} mit (x, P N (x)) N . (5.19)
Es gibt in der Informatik übrigens seit längerem ein Berechnungsverfahren, das dem des Rech-
nens mit unscharfen Zahlen sehr ähnlich ist, nämlich die so genannte Intervallarithmetik. Ähn-
lich wie unscharfe Zahlen durch Mengen (und die ZGF natürlich) und damit durch Abschnitte
auf der Zahlengraden definiert sind, geht es in der Intervallarithmetik vereinfacht gesagt da-
rum, Intervalle von Werten so zu bestimmen, dass bei Unkenntnis der exakten Werte zumin-
dest ausgesagt werden kann, in welchem Intervall der exakte Wert liegen muss. Die Werte aus
einem solchen Intervall liegen dann hinreichend nahe am exakten Wert, so dass ein beliebiger
Wert aus dem Intervall genommen werden kann. Auch die Berechnungsverfahren für die Inter-
valle sind dem der Berechnung unscharfer Zahlen sehr ähnlich. Die Intervallarithmetik spielt
insbesondere bei Bestimmungen von Fehlertoleranzen eine wesentliche Rolle.
Der Begriff der unscharfen Zahl wird bei praktischen Anwendungen vor allem dann wichtig,
wenn die ZGF selbst unscharf ist. Man spricht dann von einer Ultrafuzzy-Menge. Gemeint ist
damit, dass die ZGF einer unscharfen Menge A keine scharfen, d. h. eindeutigen, Werte für die
P A (x), x G liefert, sondern nur unscharfe Zahlen, d. h. Intervalle.
Dies kann z. B. dann auftreten, wenn es darum geht, bestimmte Personen einer Gruppe mit
Sympathiewerten zu belegen; dies Beispiel haben wir schon gebracht. Aus der Sicht einer
einzigen Person ist es natürlich möglich, jede andere Person mit scharfen Werten der persönli-
chen „Sympathiezugehörigkeitsfunktion“ zu besetzen.
Anders ist es jedoch, wenn es um die Meinungen verschiedener Personen über andere Personen
geht. Man kann dies auch als Bildung einer Ultrafuzzy-Menge auffassen in dem Sinne, dass
jeder beurteilten Person eine unscharfe Menge als „Sympathieintervall“ zugeordnet wird. Gra-
phisch lässt sich dies als übereinander gelagerte Kurven der ZGF i der verschiedenen beurtei-
lenden Personen verstehen; rechnerisch ließe sich dann beispielsweise der Gesamtsympathie-
wert einer einzelnen beurteilten Person als der arithmetische Mittelwert der unscharfen Einzel-
sympathiewerte bestimmen. Wir überlassen es Ihnen, sich zu überlegen, wie man den (unschar-
fen!) Mittelwert zweier unscharfer Zahlen wohl bestimmen kann und zwar anhand der obigen
Definition der Addition und der Multiplikation mit einer reellen Zahl.