Fuzzy-Mengenlehre und Fuzzy-Logik - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 162

Natürlich gelten alle diese Definitionen auch für Verknüpfungen von mehr als zwei Mengen
und werden entsprechend angewandt.
Lassen Sie sich nicht dadurch verwirren, dass eine unscharfe Menge A selbst als cartesisches
Produkt definiert wurde. Das cartesische Produkt zweier unscharfer Mengen ist demnach das
cartesische Produkt zweier cartesischer Produkte.
Schließlich soll noch der Begriff der unscharfen Teilmenge einer unscharfen Menge definiert
werden.
Wir sagen, dass A Teilmenge von B ist, wenn gilt:
P A (x) P B (x) für alle x G (5.13)

der gemeinsamen Grundmenge von A und B .
Insbesondere ist damit die leere Menge Teilmenge jeder unscharfen Menge, da dann für alle
x G per definitionem gilt:

P (x) = 0, (5.14)

so dass (5.13) offenbar immer erfüllt ist.
Es ist nun auch möglich, den Begriff der unscharfen Zahl zu bilden, was auf einen ersten Blick
etwas paradox erscheinen mag. Man kann sich eine unscharfe Zahl vorstellen als eine „norma-
le“ scharfe Zahl, sagen wir 23, mit einem bestimmten „Toleranzbereich“. Etwas genauer lautet
die Definition:
Sei N eine unscharfe Teilmenge von R , der Menge der reellen Zahlen. N ist eine unscharfe
Zahl, wenn mindestens ein x = a existiert mit P N (a) = 1 und wenn die ZGF P N (x) konvex ist,
d. h. wenn für alle x, y, z R mit x z y gilt:
P N (z) t min(P N (x), P N (y)).

(5.15)

Bild 5-6 Zulässige unscharfe Zahlen

Die Definition der unscharfen Zahl bedeutet anschaulich, dass deren ZGF nur ein Maximum
besitzen darf und dass dieses den Wert P N (x) = 1 an mindestens einem Punkt bzw. in einem
nicht unterbrochenen Intervall erreichen muss; man sieht an den Beispielen in Bild 5-6, dass
dieses Maximum durchaus in mehreren Punkten erreicht werden kann (streng genommen sogar
in unendlich vielen).