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5.1.4
Diskrete Fourier-Transformation
Im letzten Schritt der Überlegungen wird der Übergang vom kontinuierlichen Fourierspektrum
für Folgen auf das DFT-Spektrum vollzogen. Der Vergleich der Fourier-Transformation und
der DFT in Tabelle 3-1 zeigt, dass für Folgen endlicher Länge
N
das DFT-Spektrum einer Ab-
tastung des Fourierspektrums an den Stellen
2
N
3
k
k
für
k
= 0 :
N
1
(5.19)
k
DFT
entspricht.
Xk Xe
j
2
kN
(5.20)
w
w
Man beachte, dass die (Frequenz-)Schrittweite des DFT-Spektrums, die spektrale Auflösung
der DFT
3
rec
ist.
Die Anwendung der DFT erscheint manchmal etwas unanschaulich. Darum wird im folgenden
Beispiel aus der Elektrotechnik an die Grundlagen der harmonischen Analyse erinnert: Die
vorgestellten Fourierkoeffizienten in (5.21) entsprechen den Amplituden der Ersatzspannungs-
quellen und ihre Betragsquadrate sind proportional zu (Wirk-)Leistungen. Die Fourierkoef-
fizienten haben somit eine physikalische Bedeutung, die auch in der realen Schaltung überprüft
werden kann.
3
DFT
gleich der spektralen Auflösung des Rechteckfensters
Beispiel
Klirrfaktormessung mit der DFT
Der enge Zusammenhang zwischen der Fourier-Transformation und der DFT kann im Fall
periodischer Signale dazu benutzt werden, mit der FFT die Koeffizienten der Fourier-Reihe
effizient zu bestimmen. Für die Praxis ergeben sich daraus wichtige Anwendungen. So lassen
sich mit kontinuierlicher Zustandserfassungen von Maschinen, z. B. von Antriebswellen und
Lagern, der Abnutzungsvorrat ausschöpfen und Maschinenschäden in der Entstehungsphase
erkennen. Ein anderes Anwendungsgebiet ergibt sich in Energieversorgungsunternehmen. Dort
ist der Leistungsanteil der Oberwellen im Spannungsversorgungsnetz eine Kenngröße für die
Versorgungsqualität. Gewisse Grenzwerte müssen überwacht und eventuell Gegenmaßnahmen
ergriffen werden. Schließlich spielt, wie der
Name schon sagt, der Klirrfaktor auch in der
Nachrichtentechnik, insbesondere der Audio-
technik, eine große Rolle.
Die
Klirrfaktormessung
stellt das Beispiel in
Bild 5-9 vor. Als Signal wird die mit einem
Einweggleichrichter gleichgerichtete sinusför-
mige Spannung in der normierten Form ver-
wendet [BSMM99]. Die Frequenz
f
0
sei 50
Hz, wie im europäischen Stromversorgungs-
netz.
1
u
(
t
)
0
10
20
30
t
in ms
Bild 5-9
Sinussignal nach Einweggleichrichtung
