Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
5.1.2
Spektrum des zeitdiskreten Signals
Im letzten Abschnitt wurde die Abtastung im Bereich der zeitkontinuierlichen Signale betrach-
tet. Die Analyse vereinfacht sich stark, wenn auf die zeitdiskrete Darstellung als Abtastfolge
gewechselt wird: analytisch einfacher zu handhabenden (Signal-)Folgen entstehen, siehe Bild
5-4.
Mit der normierten Kreisfrequenz
T
(5.8)
0
0
ergibt sich für das zeitdiskrete Signal
x n
cos
n
(5.9)
0
und sein Spektrum
j
Xe
2
k
2
k
(5.10)
(
)
0
0
k
Da das Spektrum einer Folge stets periodisch in 2
ist, wird seine Darstellung in der Regel auf
die Grundperiode [0, 2
] beschränkt.
Wird das Abtasttheorem eingehalten, tritt kein Aliasing auf. Es ergibt sich der einfache Zusam-
menhang zwischen dem Spektrum der Abtastfolge und dem Spektrum des abgetasteten Signals.
] oder [
,
1
!
j
Xe
X j
für
+
und
f
s
2
f
g
(5.11)
"
#
T
T
&
'
s
s
x
(
t
)
1
x
[
n
]
0
n
1
0
16
16
32
32
X
(e
j
)
k
= 1
k
= 0
k
=
1
2
2
0
0
0
Bild 5-4
Kosinusfolge und ihr Spektrum (Ausschnitt)
Das Ergebnis wird in Bild 5-5 anschaulich interpretiert: Wird bei der Abtastung das Abtast-
theorem eingehalten, so lassen sich die Spektren des zeitkontinuierlichen Signals und der Ab-
tastfolge im Wesentlichen durch eine Abbildung der Frequenzachsen ineinander überführen.
