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mit dem
periodischen Impulskamm
p t
()
t
n T
(5.4)
s
n
beschrieben werden. Das nur zu diskreten Zeitpunkten von null verschiedene Abtastsignal wird
im Zeitkontinuierlichen als Folge von Impulsfunktionen dargestellt, siehe Bild 5-3 oben. Rich-
tungen und Höhen der Impulse repräsentieren die Abtastwerte.
Die Multiplikation der Signale im Zeitbereich entspricht nach dem Modulationssatz der
Fourier-Transformation der Faltung der Spektren der Signale.
1
2
X
j
X
j
P
j
(5.5)
s
Da das Spektrum des periodischen Impulskammes wieder ein periodischer Impulskamm ist
2
T
Pj
2
kT
(5.6)
s
s
k
führt die Faltung (5.5) auf eine periodische Wiederholung des Signalspektrums.
1
Xj
Xj
2
kT
(5.7)
s
s
T
s
k
Das Spektrum eines abgetasteten Signals bestimmt sich also aus der periodischen Wieder-
holung des Signalspektrums mit der Periode 2
/
T
s
.
Im Beispiel des zeitkontinuierlichen Kosinussignals resultiert der in Bild 5-3 oben gezeigte
Ausschnitt des abgetasteten Signals. Das zugehörige Spektrum ist darunter dargestellt. Für die
Zeichnung wurde das Abtastintervall
T
s
=
T
0
/ 8 gewählt, womit das Abtasttheorem eingehalten
wird.
Anmerkung:
Anhand des Beispiels wird auch die Aussage des Abtasttheorems deutlich. Wird die Abtast-
frequenz
f
s
= 1 /
T
s
etwas kleiner gewählt, nähern sich die periodischen Anteile im Spektrum gegenseitig
an. Wird das Abtasttheorem verletzt, schieben sich die Anteile ineinander. Man spricht von einer spektra-
len Überfaltung, Bandüberlappung oder
Aliasing
.
1
x
(
t
)
x
s
(
t
)
0
t
1
0
T
/2
T
/2
T
T
X
s
(
j
)
/ T
S
k
=
1
k
= 0
k
= 1
0
s
0
0
s
Bild 5-3
Abgetastetes Kosinussignal und sein periodisches Spektrums (
s
= 8
0
)
