Digital Signal Processing Reference
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plikation der Folge mit der
Fensterfolge
w
[
n
], also
x
w
[
n
]
= x
[
n
]
w
[
n
].
Die einfachste Fensterfolge
ist ein Rechteckimpuls, der im Bereich des Fensters den Wert 1 hat und sonst 0 ist. Bei der
Echtzeitsignalverarbeitung, wie sie typisch für das Anwendungsbeispiel ist, werden dem Signal
sukzessive Blöcke entnommen und transformiert, sodass sich das Fenster anschaulich
gesprochen über die Signalfolge schiebt. Je nach Bedarf können die Blöcke aneinandergrenzen
oder sich auch teilweise überlappen.
In Bild 5-1 finden drei prinzipielle Verarbeitungsschritte statt: Abtastung, Fensterung und FFT.
Die einzelnen Schritte werden nachfolgend anhand eines Beispiels vorgestellt. Die dabei auf-
tretenden Effekte werden mithilfe der Fourier-Transformation erklärt. Im Weiteren werden die
Sätze der Fourier-Transformation für zeitkontinuierliche Funktionen und Folgen verwendet,
wie sie aus einführenden Lehrveranstaltungen zur Signal- und Systemtheorie bekannt sind.
x
(
t
)
x
[
n
]
x
w
[
n
]
X
w
[
k
]
Analoge
Signalquelle
A/D
FFT
Darstellung,
Auswertung
Tiefpass
A/D-Umsetzer
Fensterung
FFT-Prozessor
Bild 5-1
Blockdiagramm zur Kurzzeit-Spektralanalyse mit Fensterbewertung und FFT
5.1.1
Abtastung
Zunächst wird der Effekt der Abtastung auf das Spektrum betrachten, der Zusammenhang zwi-
schen dem Spektrum des zeitkontinuierlichen Signals vor und nach der Abtastung hergestellt.
Wegen der einfachen grafischen Darstellung im Frequenzbereich wird das Beispiel des zeit-
kontinuierlichen Kosinussignals gewählt
x t
cos
t
(5.1)
0
mit dem bekannten impulsförmigen Spektrum, der Fourier-Transformierten, in Bild 5-2.
Xj
(5.2)
0
0
Die (ideale)
Abtastung
analoger Signale mit dem
Abtastintervall
(Sampling interval/ period)
T
s
kann durch die Multiplikation des Signals
x
t
xt
pt
(5.3)
T
0
1
X
(
j
)
x
(
t
)
t
0
1
0
0
0
T
T
0
Bild 5-2
Ausschnitt aus dem Kosinussignal und Spektrum des Kosinussignals (
0
= 2
/
T
0
)
