Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
1
1
*
N
*
Xk
Vk V M k
j
w Vk V M k
für
k
0 :
M
2
2
(3.24)
*
Xk
X N k
für
k M
1:
N
1
Anmerkungen:
(i) In der oberen Gleichung wird auch
k
=
M
eingesetzt. Es zeigt sich die mathematisch
unterlegte Periodizität der DFT-Spektren mit
V
[0] =
V
[
M
], allgemein
V
[
k
] =
V
[
k
+
l
. (ii)
Man beachte auch in der letzten Zeile die Symmetrie der DFT-Koeffizienten reeller Folgen (3.22): der
Realteil ist gerade und der Imaginärteil ungerade.
M
] mit
k
,
l
3.2
Vorbereitende Aufgaben
A3.1
Von zentraler Bedeutung für die Eigenschaften der DFT ist die
Orthogonalität
der
komplexen Exponentiellen.
2
N
1
N
1
1für
kmN
j
n
1
1
kn
N
e
w
und
k
,
m
ganze Zahlen
(3.25)
N
N
N
0son t
n
0
n
0
Verifizieren Sie die Gleichung mithilfe der geometrischen Reihe.
A3.2
Geben Sie für die nachfolgenden Signale, mit
n
= 0:
N
1 und 0
+
n
0
<
N
1 bzw.
0
+ ,
, jeweils das DFT-Spektrum der Länge
N
an.
0
Hinweis:
Siehe Beispiel und Aufgabe A3.1.
x
[]
n
n
n
1
0
2
2
!
!
j
k
N
j
k
N
"
#
"
#
0
0
$
%
N
N
DFT
&
'
&
'
1
1
e
1
e
xn
[] cos
n
X k
$
%
*
2
0
2
2
2
!
2
!
$
%
j
k
j
k
"
0
#
"
0
#
$
&
N
'
&
N
'
%
1
e
1
e
(
)
x
[] sin
n
n
3
0
xn e
j
n
4
[]
0
xn
5
[] 1
A3.3
Geben Sie für den Sonderfall
-
2
N
mit
-
{1, 2, ...,
N
1} die Spektren
0
X
2
[
k
],
X
3
[
k
] und
X
4
[
k
] an.
Hinweis:
Siehe Orthogonalität der komplexen Exponentiellen.
2
N
!
x
[] cos
n
-
n
"
#
2
&
'
