Digital Signal Processing Reference
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Tabelle 3-2
Sätze der diskreten Fourier-Transformation für Folgen der Länge
N
DFT
axn
*
aXk
Linearität
(3.14)
l
l
l
l
l
l
DFT
Zyklische Verschiebung
mk
N
(3.15)
x nm
*
w
Xk
DFT
N
we
j
2/
N
Modulation
(
(3.16)
)
nl
N
wxn
*
Xkl
DFT
Spiegelung
(3.17)
x
*
n
X
k
DFT
*
*
(3.18)
Konjugiert komplexe Folge
x
n
*
X
k
N
DFT
Zyklische Faltung
(3.19)
x
nxn
*
*
XkXk
1
2
1
2
DFT
N
1
(3.20)
Multiplikation
x
nxn
*
Xk X k
*
1
2
1
2
N
N
1
N
1
DFT
1
2
2
xn
*
X k
Parsevalsche Gleichung
(3.21)
N
n
0
k
0
x
[
n
] =
x
er
[
n
] +
x
or
[
n
] +
j
(
x
ei
[
n
] +
x
oi
[
n
] )
Zuordnungsschema
gerade (
e
ven), ungerade (
o
dd),
reell (
re
al), imaginär (
i
maginary)
DFT
(3.22)
X
[
k
] =
X
er
[
k
] +
X
or
[
k
] +
j
(
X
ei
[
k
] +
X
oi
[
k
] )
Für viele Anwendungen ist es wichtig, die DFT möglichst schnell zu berechnen. Hierzu wer-
den auch spezielle Hardwarelösungen, sogenannte FFT-Prozessoren, eingesetzt. Im nächsten
Versuch werden dazu spezielle Algorithmen vorgestellt. Auch ohne diese bzw. zusätzlich kann
der Rechenaufwand reduziert werden, wenn sich die Symmetrieeigenschaften der DFT (3.22)
vorteilhaft anwenden lassen [Schü08].
Im Falle reeller Folgen
x
[
n
] mit geraden Längen
N
= 2
M
ist die Zerlegung in eine komplexe
Folge mit halber Länge
M
möglich
vn
x
2
n
j x
2
n
1
und
n
= 0:
M
1
(3.23)
Aus der DFT der komplexen Folge
V
[
k
] lässt sich die DFT der ursprünglichen reellen Folge
X
[
k
] relativ einfach bestimmen
