Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
Die Folge
x
[
n
] und ihr
DFT-Spektrum
X
[
k
] bilden ein DFT-Paar.
DFT
(3.4)
x n
[]
*
Xk
Beispiel 3-1
DFT einer Kosinusfolge
Um die Ergebnisse der DFT interpretieren zu können, müssen wir uns die Eigenschaften der
Transformationsgleichungen (3.1) und (3.3) klar machen. Den ersten, und wichtigsten Schritt
dazu liefert das grundlegende Beispiel der DFT der Kosinusfolge
!
x n
[] cos
8
n
(3.5)
"
#
&
'
Sie soll der DFT der Länge
N
= 32 unterworfen werden.
2
31
j
k
!
32
Xk
cos
n e
für
k
= 0:31
(3.6)
"
#
8
&
'
n
0
Für den weiteren Rechengang ist es vorteilhaft, die Kosinusfunktion mit der eulerschen Formel
in komplex-exponentieller Form darzustellen. Nach kurzer Zwischenrechnung erhält man zwei
geometrische Reihen
!
31
j
2
k
n
j
2
k
n
1
2
"
#
16
16
Xk
e
e
für
k
= 0:31
(3.7)
"
#
n
0
&
'
die in den beiden Summen resultieren
!
j
22
k
j
22
k
1
1
e
1
e
"
#
Xk
für
k
= 0:31
(3.8)
"
#
2
j
2
k
j
2
k
"
#
16
16
&
1
e
1
e
'
Die Betrachtung der Brüche in der Klammer zeigt, dass die Zähler stets null sind, weil in den
Exponenten stets ein ganzzahliges Vielfaches von 2
auftritt und folglich die komplex Expo-
nentiellen gleich eins sind. Damit sich überhaupt ein von null verschiedener DFT-Koeffizient
einstellen kann, muss der Nenner die Nullstelle des Zählers kompensieren. Dies geschieht
genau für
k
= 2 und 30, dann besitzt der Nenner ebenfalls Nullstellen. Für
k
= 2 und 30 liegen
somit zunächst unbestimmte Ausdrücke vor, die aus (3.8) mit der Regel von L'Hospital, oder
einfacher direkt durch Einsetzen der beiden Werte für
k
aus (3.7) bestimmt werden können. Es
resultiert die DFT der Kosinusfolge
Xk
16
k
2
k
30
für
k
= 0:31
(3.9)
Die Kosinusfolge und ihr DFT-Spektrum sind in Bild 3-2 dargestellt. Die Grafik wurde mit
dem Programmbeispiel 3-1 erstellt.
