Digital Signal Processing Reference
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Die DFT eignet sich besonders zur numerischen Berechnung auf Digitalrechnern, da sie
sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich diskret und von endlicher Länge, also eine
Blocktransformation ist.
Die DFT kann mit der schnellen Fourier-Transformation effizient berechnet werden.
Wegen des engen Zusammenhangs mit der Fourier-Reihe wird die DFT auch als „diskrete
Fourier-Reihe“ bezeichnet. Während die Fourier-Reihe mit
k
= 0,
1,
2, ... ein unendlich aus-
gedehntes Linienspektrum zu den Kreisfrequenzen 2
f
0
k
erzeugt, ordnet die DFT wegen der
Periodizität der Exponentialfunktion exp(
j
2
k
/
N
) den
N
Elementen einer Periode der Folge
genau
N
Spektrallinien für
k
= 0, 1, ...,
N
1 zu. Die DFT ist eine
Blocktransformation
, die
N
Signalelementen im Zeitbereich genau
N
Signalelemente im Frequenzbereich und umgekehrt
bijektiv zuordnet.
Für das Verständnis der DFT und ihrer Anwendungen ist wichtig, dass sie für periodische
Folgen definiert ist, siehe Bild 3-1, aber häufig auf Folgen endlicher Länge angewendet wird.
Da jede Folge endlicher Länge
L
mit der Periode
N
L
eindeutig periodisch fortgesetzt werden
kann, ist die DFT auf alle geordneten Zahlenfolgen endlicher Länge anwendbar.
Grundperiode
0
7
8
8
1
n
Bild 3-1
Periodische Folge
Man beachte in Tabelle 3-1, dass die DFT und ihr Inverses (IDFT) bis auf den Skalierungs-
faktor 1/
N
symmetrisch sind. Damit kann jede geordnete Folge endlicher Länge
prinzipiell so-
wohl als Zeitsignal als auch als Spektrum interpretiert werden. Und die Sätze der DFT für den
Zeitbereich haben ihre Entsprechungen im Frequenzbereich.
Die Überlegungen fassen die folgenden Definitionen nochmals zusammen: Die
diskrete
Fourier-Transformation
(DFT) einer Folge
x
[
n
] der Länge
N
mit
n
= 0, 1, ...,
N
1 ist die Folge
der
DFT-Koeffizienten
N
1
kn
N
X
k
x n
[]
w
für
k
= 0, 1, 2, ...,
N
1
(3.1)
n
0
mit dem komplexen Faktor
N
we
j
2
N
(3.2)
Die inverse DFT (IDFT) liefert wieder die ursprüngliche Folge, wobei diese als Überlagerung
gewichteter Sinus- und Kosinusfolgen dargestellt wird.
N
1
N
1
1
1
2
2
!
!
kn
x n
[]
X
k
w
X
k
cos
k n
j
sin
k n
(3.3)
"
#
"
#
$
%
N
N
N
N
N
(
&
'
&
'
)
k
0
k
0
