Digital Signal Processing Reference
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Wie in Bild 3-2 zu sehen ist, erfasst die DFT der Länge
N
= 32 genau zwei Perioden der Kosi-
nusfolge. Die DFT liefert deshalb genau zwei von null verschiedene reelle Koeffizienten,
nämlich für
k
= 2 und
k
=
N
2 = 30. Damit kann vom DFT-Spektrum in Bild 3-2 ohne Rech-
nung auf das Kosinussignal und seine Periode und umgekehrt geschlossen werden.
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
n
n
10
10
0
0
-10
-10
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
k
k
Bild 3-2
Kosinusfolge (oben) und ihr DFT-Spektrum (unten); Darstellung von Real- (Re) und
Imaginär-(Im)teilen links bzw. rechts (
dsplab3_1
)
Die Betrachtung der DFT als harmonische Analyse macht dies nochmals deutlich, siehe (3.3).
Die DFT stellt jede Folge als mit den DFT-Koeffizienten gewichtete Überlagerung von
Kosinus- und Sinusfolgen dar
N
1
1
x n
[]
X
k
cos
n
j
sin
n
für
n
= 0:
N
1
(3.10)
(
)
k
k
N
k
0
mit den normierten Kreisfrequenzen
2
N
k
für
k
= 0:
N
1
(3.11)
k
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich unmittelbar der Zusammenhang
DFT
2
N
N
!
cos
Kn
*
k K
k
N K
für
k
= 0:
N
1
(3.12)
"
#
(
)
2
&
'
da die Kosinusfunktion ungerade und in 2
periodisch ist, d. h. cos
x
cos(
x
)
cos(2
x
)
.
Ebenso kann für Sinusfolgen überlegt werden
DFT
2
N
N
!
sin
Kn
*
j
k K
k
N K
für
k
= 0:
N
1
(3.13)
"
#
(
)
2
&
'
