Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
Kurze zeitdiskrete Signale werden einfach durch Angabe ihrer Werte charakterisiert, wie
beispielsweise
x
[
n
] = {0, 1, 1, 4}
mit
n
{0,1,2,3} oder
x
[
n
] = {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...}
mit
n
= 0,1,2,...
Der erste Signalwert gehört in der Regel zum Index
n
= 0, der zweite zu
n
= 1, usw. Falls nötig
werden Folgen endlicher Länge durch führende bzw. nachfolgende Nullen ergänzt. Man
spricht von einer
rechtsseitigen Folge
, wenn
xn
[] 0
für
n
< 0
.
Beispiel 2-1
Sinusfunktion und Sinusfolge
Zur Beschreibung periodischer Phänomene in der Natur werden oft sinusförmige Funktionen
verwendet. Wir wählen deshalb als einführendes Beispiel die Sinusfunktion
ˆ
sin 2
x t
x
f
t
(2.2)
0
mit der Amplitude
x
und der (Signal-)Frequenz
f
0
und der Zeit
t
.
Häufig handelt es sich bei den Parametern um physikalische, also dimensionsbehaftete Größen,
wie die elektrische Spannung in Volt (V), die Frequenz in Hertz (Hz) und die Zeit in Sekunden
(s). In der digitalen Signalverarbeitung werden die physikalischen Größen meist dimensionslos
dargestellt. Dies geschieht nach Normierung mit entsprechenden Bezugsgrößen. Im Beispiel
bietet es sich an die Größen auf 1 V, 1 Hz bzw. 1 s zu beziehen, sodass bei Bedarf die Verbin-
dung zu den physikalischen Größen hergestellt werden kann.
Die zugehörige Abtastfolge ist
ˆ sin 2
x nx
f
Tn
(2.3)
0s
Mit dem Abtastintervall
T
s
und der normierten Zeitvariablen
n
.
Für eine kompakte Beschreibung ist es günstig, die konstanten Anteile im Argument der Sinus-
funktion zur normierten Kreisfrequenz
zusammenzufassen.
x nx
ˆ sin
n
(2.4)
0
mit
2
fT
(2.5)
0
0
s
Wählen wir beispielsweise das Abtastintervall
1
T
(2.6)
s
8
f
0
so erhalten wir die normierte Kreisfrequenz
12
2
f
(2.7)
0
0
8
f
8
0
