Lösungen zu den Versuchen - Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB - page 278

A12.9 Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Butterworth-Tiefpassfilters in der z -Ebene

3 2

z 3 z 3 z 1

H z 0.0181

BWTP

3 2

z 1.7600 z 1.1829 z 0.2781

Zur Kontrolle des Filterentwurfs wurde das Programm dsplab12_2 erstellt.
Neben dem Pol-Nullstellendiagramm und den Frequenzgängen in der s - und z -
Ebene, wurden die untenstehenden Pole und Filterkoeffizienten berechnet.

s1 = -1.2500 + j*( 2.1651)
s2 = -2.5000 + j*( 0.0000)
s3 = -1.2500 + j*( -2.1651)
a0 = 1.0000 ; b0 = 0.0000
a1 = 5.0000 ; b1 = 0.0000
a2 = 12.5000 ; b2 = 0.0000
a3 = 15.6250 ; b3 = 1.0000
alpha = 0.129968

z1 = 0.6253 + j*( 0.3934)
z2 = 0.5095 + j*( 0.0000)
z3 = 0.6253 + j*( -0.3934)
a0 = 1.0000 ; b0 = 1.0000
a1 = -1.7600 ; b1 = 3.0000
a2 = 1.1829 ; b2 = 3.0000
a3 = -0.2781 ; b3 = 1.0000

M12.1 Die Lösung von A12.9 lässt sich beispielsweise durch folgende Programmzeile in

MATLAB durchführen:

fvtool(.0181*[1 3 3 1],[1 -1.76 1.1829 -.2781])

M12.2 IIR-Filterentwurf mit dem Programm dsplab12_1 mit den Entwurfsparametern,

siehe normierte Kreisfrequenz

1

2 f 20 k z

0.34

Durchlasskreisfrequenz D /

Sperrkreisfrequenz S / 0.4

Durchlasstoleranz D 0.095

Sperrtoleranz S 0.0048

Bei der Berechnung der Nullstellen des Butterworth-Tiefpassfilters 30. Ordnung
treten numerische Ungenauigkeiten auf, sodass nicht alle 30 berechneten Nullstellen
bei z 0 = 1 liegen. Vor einer praktischen Anwendung des Filters ist von Hand eine

entsprechende Korrektur der Zählerkoeffizienten vorzunehmen.

Ebenfalls zu beobachten sind numerische Ungenauigkeiten bei der Berechnung der
Phase und der Gruppenlaufzeit im Sperrbereich bei sehr großen Dämpfungen, d. h.
sehr kleinen Werten des Betragsgangs. Sie sind für die Anwendung bedeutungslos
und können ignoriert werden.

Wiederholt man den Versuch mit dem MATLAB-Programm fdatool , treten die
genannten Probleme, insbesondere bei den Nullstellen, nicht auf, siehe M12.4.

M12.3 Lösung: dsplab12_4 und fvtool(b4,a4) , siehe Bild 20-35 und Bild 20-36.

Für die anderen Frequenztransformationen siehe auch dsplab12_3 .