Digital Signal Processing Reference
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Im(
z
)
Im(
z
)
Im(
z
)
z
z
z
a)
b)
c)
Re(
z
)
Re(
z
)
Re(
z
)
1
1
1
Bild 17-6
Gruppieren der Pole und Nullstellen in Blöcken 2. Ordnung für einen Cauer-Tiefpass nach der
Faustregel
17.3.2
Koeffizientenquantisierung und Polausdünnung
Im Weiteren wird exemplarisch ein einzelner Block der Kaskadenform betrachtet, ein reell-
wertiges rekursives System 2. Ordnung mit konjugiert komplexem Polpaar und konjugiert
komplexem Nullstellenpaar.
j
:
j
:
*
z
;
e
z
und
z
;
e
0
z
(17.7)
1
2
01
0
02
Eingesetzt in die Übertragungsfunktion liefert
1
2
2
bbz bz
12
;
cos
:;
01
2
0
0 0
Hz
b
(17.8)
0
1
2
2
1
az
a z
1
2
;
cos
:;
1
2
Die Realisierung des Blockes 2. Ordnung im üblichen Zweierkomplementformat erfordert die
Quantisierung der Filterkoeffizienten.
1
2
b
b
z
b
z
0Q
1Q
2Q
Hz
(17.9)
Q
1
2
1
az
a z
1Q
2Q
Wegen
2
(17.10)
a
2Re
z
und
az
1
1
2
1
wirkt sich die Quantisierung auf die Realteile und die Beträge der Pole aus. Für die Nullstellen
gilt Entsprechendes.
Im wichtigen Fall stabiler kausaler Systeme liegen alle Pole innerhalb des Einheitskreises.
Demzufolge gilt für die Beträge der Nennerkoeffizienten
(17.11)
0
+,
a
2
0
,,
a
1
und
1
2
sodass
a
1
den Zahlenbereich des Zweierkomplementformats überschreiten kann. Während die
Zählerkoeffizienten durch geeignete Skalierung stets betragsmäßig kleiner eins gewählt werden
können, muss für den Nenner anderweitig Abhilfe geschaffen werden. Die in Bild 17-7 ge-
zeigte Struktur mit einer Aufspaltung der Multiplikation mit
a
1
in zwei Additionen vermeidet
die Zahlenbereichsüberschreitung um den Preis einer zusätzlichen Addition.
