Digital Signal Processing Reference
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x
[
n
]
b
N
b
2
b
1
b
0
b
N
1
y
[
n
]
D
D
D
a
N
1
a
N
a
2
a
1
Bild 17-4
Blockdiagramm der IIR-Filterstruktur in transponierter Direktform II (
a
0
= 1)
Theoretische Analysen und praktische Erfahrungen zeigen, dass die Realisierung als Kaskade
von Blöcken 2. Ordnung relativ robust gegenüber Wortlängeneffekten ist.
H
zHzHz
Hz
(17.6)
1
2
K
Man zerlegt dabei das System in hintereinander geschaltete Teilsysteme 2. Ordnung und
gegebenenfalls 1. Ordnung, falls einzelne reelle Pole auftreten. Man spricht dann von der
Kas-
kadenform
, siehe Bild 17-5.
x
[
n
]
y
[
n
]
H
1
(
z
)
H
2
(
z
)
H
K
(
z
)
Bild 17-5
Kaskadenform mit Teilsystemen 1. und 2. Ordnung
Die Aufteilung der Pole und Nullstellen auf die Teilsysteme sowie deren Skalierungen sind
nicht beliebig. Auf eine Optimierung wird häufig verzichtet, da eine einfache Faustregel
brauchbare Resultate liefert.
Der Einfachheit halber gehen wir von konjugiert komplexen Pol- und Nullstellenpaaren aus,
wie sie für die Standardfilter typisch sind. Die Faustregel zur Aufteilung der Pole und Null-
stellen auf die Teilsysteme wird in Bild 17-6 veranschaulicht. Leitgedanke dabei ist, den Ein-
fluss der einzelnen Pole und Nullstellen auf die Frequenzgänge der Teilsysteme möglichst aus-
zugleichen.
Pol-Nullstellen-Aufteilung
für die Kaskadenform (Faustregel)
Es wird das zum Einheitskreis am nächsten liegende konjugiert komplexe Polpaar mit dem
zu ihm am nächsten liegenden konjugiert komplexen Nullstellenpaar zusammengefasst.
Das Zusammenfassen wird für die verbleibenden Pole und Nullstellen entsprechend dem
ersten Schritt wiederholt, bis alle Pol- und Nullstellenpaare erfasst sind.
Die Teilsysteme 2. Ordnung werden in steigender oder fallender Reihenfolge des
Zusammenfassens implementiert.
