Kenngrößen stochastischer Signale - Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB - page 173

N 1

1

ˆ

Rl xnl xn für l 0,1, , L

(14.12)

XX

N 1

n 0

Anmerkungen: (i) Bei Mittelwertfreiheit und l = 0 erhält man die bekannte Formel für die empirische
Streuung s 2 in Tabelle 14-1. (ii) Wie in Versuch 8 schon erwähnt wurde, kann die Schätzfunktion als Fal-
tung, genauer Pseudofaltung , der Musterfolge der Länge N interpretiert werden.
Weil die AKF eines reellen Prozesses stets eine gerade Funktion ist, reicht es, die Berechnung
für nicht negative Werte der Verschiebung l durchzuführen. Man beachte, dass je nach Imple-
mentierung durch die Blockgrenze die Zahl der Mittelungen mit wachsender Verschiebung ab-
nimmt. Ist die Blocklänge viel größer als die maximale Verschiebung, kann dieser Effekt meist
vernachlässigt werden. Zur Erhöhung der Vertrauenswürdigkeit werden oft die Schätzwerte
mehrerer Blöcke gemittelt.

14.3.4 Schätzung des Leistungsdichtespektrums

Aus der gemessenen AKF lassen sich Schätzwerte für das LDS mit der diskreten Fouriertrans-
formation (DFT) berechnen. Voraussetzung dafür ist, dass die AKF für alle wesentlichen
Werte der Verschiebung l erfasst wurde, d. h.

X Rl

/8 0 l L

(14.13)

Anderenfalls ergeben sich Fehler ähnlich der Fensterung in der Kurzzeit-Spektralanalyse.
Darüber hinaus kann das LDS durch Auffüllen mit Nullen (Zero-padding) in einem engeren
Frequenzraster dargestellt werden. Programmbeispiel 14-1 enthält eine hierzu geeignete MAT-
LAB-Kommandozeile. Beachten Sie die spezielle Anordnung der Daten für den fft -Befehl.
Den Ausgangspunkt bilden die L Schätzwerte der AKF Rxx für l=0:L-1 . Die symmetrisch
fortgesetzten Werte der AKF für l=-L+1:-1 werden zeitlich gespiegelt angehängt. Schließ-
lich werden in der Mitte Nullen eingefügt.
Man beachte, das LDS eines reellen Prozesses ist stets rein reell und nicht negativ, da es die
mittlere Leistung in jedem Frequenzteilband wiedergibt. Damit lässt sich die Güte des Messer-
gebnisses beurteilen. Gegebenenfalls sind, wo vertretbar, kleine Abweichungen zu korrigieren.

Programmbeispiel 14-1 Berechnung des LDS aus den Schätzwerten der AKF
% compute pds from acf estimates Rxx with zero-padding to length 1024
L = length(Rxx);
Sxx = fft([Rxx zeros(1,1024-(2*L-1)) Rxx(L:-1:2)]);

Anmerkung: Man nennt diese Art der Schätzung auch nicht-parametrische Spektralschätzung. Alternativ
können mit parametrischen Schätzverfahren die Parameter, z. B. Pole und Nullstellen, eines Modell-
prozesses bestimmt werden, womit das (geschätzte) LDS berechnet werden kann.
Schätzwerte für das LDS können mit der FFT auch direkt aus den Musterfolgen bestimmt wer-
den. Ein wegen seiner Einfachheit oft verwendetes Verfahren beruht auf dem Periodogramm .
Dabei wird das LDS durch die Betragsquadrate der DFT-Koeffizienten geschätzt.
Aufgrund des Zufallscharakters des Signals können benachbarte Messwerte stark schwanken.
Zur Glättung des Ergebnisses wird in der Regel sowohl eine Fensterfunktion, häufig das
Hamming-Fenster, als auch eine Mittelung über mehrere Signalblöcke verwendet.