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Zur Charakterisierung des linearen Zusammenhangs von Zufallsfolgen werden die
Autokor-
relationsfolge
(AKF) und ihre Fouriertransformierte, das
Leistungsdichtespektrum
(LDS), in
Tabelle 14-5 verwendet. Will man die linearen Abhängigkeiten zwischen zwei Folgen untersu-
chen, so betrachtet man die
Kreuzkorrelationsfolge
(KKF). Aussagekräftige Schätzwerte für
die AKF und KKF sind als Größen 2. Ordnung in der Regel meist noch mit vertretbarem Auf-
wand empirisch bestimmbar.
Beachten Sie auch, dass die AKF an der Stelle null,
R
XX
[0], gleich der
Leistung
des Prozesses
ist, siehe Schätzung des quadratischen Mittelwertes in Tabelle 14-1.
Anmerkung:
Der Formelbuchstabe
l
für die Verschiebung, der Zeitabstand der betrachteten stochastischen
Variablen, leitet sich aus dem englischen Wort lag ab.
Tabelle 14-5
Ausgewählte Kenngrößen 2. Ordnung von zeitdiskreten reellen stationären Prozessen
Zeitmittelwerte
1
(empirisch)
Scharmittelwerte (stochastisch)
Prozesse X
[
n
],
Y
[
n
]
Musterfolgen x
[
n
],
y
[
n
]
Häufigkeitsverteilung
(3D-Histogramm)
Verbund-WDF 2.
Ordnung
f
xx
,
;
f
xx
,
XX
12
XY
12
nm
nm
Zeit-Autokorrelationsfolge
Rl
EXX
Autokorrelations-
folge (AKF) mit
der Verschiebung
l
=
m
XX
n
m
xn l xn
x
x
f
x
,
x
dx dx
N
1
12
XX
12
12
nm
n
lim
x nlxn
21
N
N
nN
Leistungsdichte-
spektrum (LDS)
jl
S
R
l
e
Periodogramm
XX
XX
l
Zeit-Kreuzkorrelationsfolge
Rl
E
XY
Kreuzkorrela-
tionsfolge (KKF)
mit der Verschie-
bung
l
=
m
XY
n
m
xn l yn
N
1
x
xf
xx x x
,
lim
x nlyn
12
XY
12
12
nm
n
21
N
N
nN
1
Für die Zeitmittelwerte wird, wegen der Stationarität der Prozesse, von nach beiden Seiten unendlich
ausgedehnten Musterfolgen ausgegangen. Für die Verschiebung
l
sind alle ganzen Zahlen zugelassen,
sodass sich zweiseitige Korrelationsfolgen ergeben.
14.3.2
Weißes Rauschen
Von besonderer Bedeutung in vielen Anwendungen sind
unkorrelierte Prozesse
, auch
weißes
Rauschen
genannt: Die stochastischen Variablen sind mittelwertfrei und zueinander unkorre-
liert, weisen also untereinander keine linearen Abhängigkeiten auf. Die AKF eines unkorrelier-
ten Prozesses ist eine mit der Leistung des Prozesses gewichtete Impulsfunktion.
