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14.3
Korrelationsfunktion stochastischer Prozesse
14.3.1
Korrelation, Korrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum
Zur Charakterisierung des wechselseitigen Einflusses zweier stochastischer Variablen wird oft
der Produkterwartungswert der beiden stochastischen Variablen herangezogen, auch Produkt-
Moment-Korrelation genannt.
EX X
x x f
x x dxdx
,
(14.4)
12
12
XX
12 12
12
Wegen der zweidimensionalen WDF handelt es sich dabei um eine Größe 2. Ordnung. Es wer-
den die linearen Abhängigkeiten erfasst, weil die stochastischen Variablen linear in die Defini-
tionsgleichung eingehen.
Von
unkorrelierten
stochastischen Variablen spricht man, falls das Produkt der Erwartungs-
werte resultiert.
EX X
EX
EX
(14.5)
12
1
2
Sind stochastische Variablen unabhängig, dann sind sie auch unkorreliert. Umgekehrt ist die
Aussage nicht richtig.
Stochastische Variablen sind
orthogonal
, falls der Produkterwartungswert null ist.
EX X
12
0
(14.6)
Von besonderer Bedeutung sind die
Kovarianz
Cov
X
,
X
E
X
A
X
A
(14.7)
12
1 1
2 2
und der
Korrelationskoeffizient
Cov
X
,
X
12
;
(14.8)
12
BB
12
Der Korrelationskoeffizient ist als Erwartungswert des Produkts der standardisierten stochasti-
schen Variablen definiert. Durch die Normierung erhält man stets
+ +
1
;
1
(14.9)
Je größer der Betrag des Korrelationskoeffizienten, umso größer ist die lineare Abhängigkeit
zwischen den stochastischen Variablen. Für
= 1 nehmen die stochastischen Variablen
X
1
und
X
2
mit Wahrscheinlichkeit eins den gleichen Wert an. Ist der Korrelationskoeffizient
;
;
= 0,
sind die stochastischen Variablen
unkorreliert
.
Anmerkungen:
(i) Für die normalverteilten stochastischen Variablen folgt aus unkorreliert auch unabhän-
gig, wie das Einsetzen von
= 0 in die bidimensionale WDF der Normalverteilung (14.1) zeigt. (ii) In der
schließenden (induktiven) Statistik spielt der Korrelationskoeffizient einer herausragende Rolle, z. B. bei
der linearen Regression. Ist der Korrelationskoeffizient relativ groß, so lassen sich gut „Vorhersagen“
treffen; Aussagen zu „Ursache und Wirkung“ können aus der Korrelation nicht abgeleitet werden.
;
