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Eine Messung statistischer Kenngrößen höherer Ordnung ist aufwendig und in der Regel nicht
praktikabel, da der für hinreichend vertrauenswürdige Ergebnisse notwendige Stichproben-
umfang mit der Ordnung wächst. Häufig muss sich die Prozessbeschreibung auf Größen 1. und
2. Ordnung beschränken, d. h. Größen, die mithilfe der eindimensionalen bzw. zweidimen-
sionalen
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
(WDF) definiert sind, wie z. B. der lineare Mittel-
wert und die Korrelation.
Beispiele für stetige eindimensionale (univariate) WDFn liefern die aus der elementaren Wahr-
scheinlichkeitsrechnung bekannte Gleichverteilung und die Normalverteilung.
Ein wichtiges Beispiel für eine zweidimensionale (bivariate) WDF ist die zweidimensionale
WDF einer Normalverteilung mit dem
Korrelationskoeffizienten
;
, dessen Bedeutung im Ver-
such noch genauer erläutert wird.
1
f
x y
,
XY
2
2
B B
1
;
xy
(14.1)
2
!
2
x
A
y
A
y
A
x
A
1
"
#
$
x
y
y
%
x
exp
2
;
"
#
$
%
2
2
BB
2
B
B
"
21
;
#
xy
x
y
$
%
(
)
&
'
Vier weitere, für die Anwendung besonders wichtige Begriffe sind:
Normierte stochastische Variable
Als normierte stochastische Variable bezeichnet man eine stochastische Variable mit linea-
rem Mittelwert null und Varianz eins.
Unabhängigkeit
Zwei stochastische Variablen
X
und
Y
sind
unabhängig
, wenn die gemeinsame Verbund-
WDF faktorisiert.
f
xy
,
f
x
f
y
(14.2)
XY
X
Y
Praktisch bedeutet dies, dass sich die Versuchsausgänge der stochastischen Variablen nicht
gegenseitig beeinflussen und wechselseitig keine Information ausgetauscht wird.
Stationarität
Ein Prozess heißt
stationär
, wenn die stochastischen Kenngrößen unabhängig von der Wahl
des Zeitursprungs sind. Prozesse, bei denen linearer Mittelwert und Korrelationsfunktion
stationär sind, werden
schwach stationäre
Prozesse genannt.
Ergodizität
Ein Prozess heißt
ergodisch
, wenn prinzipiell alle stochastischen Kenngrößen durch Zeit-
mittelung aus einer Musterfunktion bestimmt werden können, wenn (für
N
) also gilt
„Zeitmittelwerte gleich Scharmittelwerte“. Man schwächt diese Forderung oft auf den line-
aren Mittelwert und die Korrelationsfunktion ab und spricht dann von einem
schwach ergo-
dischen
Prozess.
In den Anwendungen liegt manchmal nur eine Musterfunktion zur Schätzung vor, sodass Sta-
tionarität und Ergodizität für das zugrundeliegende Modell als Arbeitshypothese angenommen
bzw. aufgrund der Randbedingungen des Modells postuliert werden.
