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Die stochastischen Prozesse als geordnete Zusammenstellung von stochastischen Variablen zu
sehen, liefert den Schlüssel zu ihrem Verständnis. Es erlaubt, die aus der elementaren Wahr-
scheinlichkeitsrechnung bekannten Methoden und Kenngrößen unmittelbar zur Beschreibung
der stochastischen Prozesse heranzuziehen. Tabelle 14-1 stellt Definitionen und Schätzfunktio-
nen einiger wichtiger Kenngrößen stationärer, reeller und zeitdiskreter Prozesse zusammen.
Anmerkung:
Um die Zugehörigkeiten der Kenngrößen kenntlich zu machen, werden meist Indizes hinzu-
gesetzt, z. B.
f
X
(
x
) oder
A
Y
für die stochastischen Variablen
X
bzw.
Y
. Der Einfachheit halber wird im
Weiteren auf die Indizes verzichtet, wenn aus dem Zusammenhang Verwechslungen nicht zu erwarten
sind.
Tabelle 14-1
Wichtige Kenngrößen stationärer, reeller und zeitdiskreter Prozesse
Zeitmittelwerte
2
(empirisch)
Ensemblemittelwerte (stochastisch)
Prozess X
[
n
]
Musterfolge x
[
n
]
Wahrscheinlichkeits-
dichtefunktion (WDF)
f
(
x
)
Häufigkeitsverteilung
(Histogramm)
N
1
Linearer Mittelwert
(Moment 1. Ordnung)
A
EX
xf xdx
x
x
n
N
n
1
2
2
2
mEX
xf
x x
Quadratischer Mittel-
wert (Moment 2. Ord-
nung)
N
1
2
2
x
x
n
N
n
1
2
2
m
BA
2
Varianz, Dispersion
1
,
Streuung,
(2. Zentralmoment)
2
Empirische Varianz
3
B
Var
X
E
X
A
N
1
2
2
2
s
xx
x
A
f
x
dx
n
N
1
n
1
1
Üblich sind auch die Schreibweisen
V
(
X
) und
D
(
X
).
2
Für die Zeitmittelwerte werden die in der Statistik üblichen Schreibweisen gewählt.
3
Der Nenner (
N
1) statt
N
sorgt für die erwartungstreue (unbiased) Schätzfunktion. Man spricht von
der korrigierten Stichprobenvarianz.
Beachten Sie, dass stochastische Größen, wie die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereig-
nis, nicht wie alltägliche physikalische Größen gemessen werden können. Die Wahrscheinlich-
keitstheorie liefert Aussagen unter welchen Voraussetzungen Schätzwerte für stochastische
Kenngrößen durch Messungen bestimmt werden können und wie die Schätzwerte zu interpre-
tieren sind. Letztendlich lassen sich wieder nur Wahrscheinlichkeitsaussagen zur Verlässlich-
keit der Schätzwerte ableiten. Eine sorgfältige Diskussion der Problemstellung würde den Rah-
men hier sprengen. Dieser und der folgende Versuch sollen Ihnen jedoch ein Gespür für die
Probleme bei der Schätzung statistischer Kenngrößen geben und helfen, Fehler zu vermeiden.
