Digital Signal Processing Reference
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11.3
Impulsantwort
Die Übertragungseigenschaften der LTI-Systeme werden durch zwei Funktionen charakteri-
siert: die
Übertragungsfunktion
H
(
z
) im Bildbereich und die
Impulsantwort
h
[
n
] im Zeit-
bereich, siehe Tabelle 8-1. Impulsantwort und Übertragungsfunktion bilden ein
z
-Trans-
formationspaar, sodass beide Systemfunktionen ineinander überführt werden können. Die dazu
benötigten Rechenschritte werden durch spezielle MATLAB-Befehle unterstützt. Das folgende
Beispiel zum System 2. Ordnung in Bild 11-3 macht mit dem grundsätzlichen Verfahren
vertraut.
Die Übertragungsfunktion eines rekursiven Systems 2. Ordnung ist eine rationale Funktion mit
einem Zähler- und einem Nennerpolynom. Zähler- und Nennerpolynom können mit ihren Null-
stellen, den Nullstellen des Systems
z
0
l
bzw. den Polen des Systems
z
k
, auch in Produktform
geschrieben werden.
1
2
2
zz
zz
bbz bz
bz bzb b
01
02
01
2
0
1
2
0
Hz
(11.5)
1
2
2
az
z
z
z
aaz az
azaza
0
1
2
01
2
0
1
2
Für den wichtigen Sonderfall nur einfacher, von null verschiedener Pole, wird die Übertra-
gungsfunktion durch
Partialbruchzerlegung
in die für die inverse
z
-Transformation günstige
Form überführt.
Bz
B z
1
2
Hz
B
für
z
.
z
und
z
,
z
.
0
(11.6)
0
1
2
1
2
zz
zz
1
2
Tabellen für
z
-Transformationspaare, z. B. in [Wer08], liefern die Korrespondenz
z
z
n
aun
*
mit
z a
=
(11.7)
za
also
n
n
hn
B
n
B z
B z
un
(11.8)
0
1
1
2
2
mit dem Impuls an der Stelle null und den beiden rechtsseitigen Exponentiellen. Sind die
Beträge der Pole kleiner eins, klingen die Exponentiellen mit wachsender normierter Zeit
n
ab:
Das System ist stabil. Bei stabilen, reellwertigen Systemen mit konjugiert komplexen
Polpaaren ergeben sich bedämpfte sinusförmige Anteile, die Eigenschwingungen des Systems.
11.4
Partialbruchzerlegung mit MATLAB
Die Berechnung der Impulsantwort aus der Übertragungsfunktion wird vorteilhaft durch eine
Partialbruchzerlegung der Übertragungsfunktion vorbereitet. Die Partialbruchzerlegung ratio-
naler Funktionen unterstützt MATLAB mit dem Befehl
residuez
. Anhand zweier
Zahlenwertbeispiele wird die Anwendung des Befehls vorgestellt.
