Digital Signal Processing Reference
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Für den wichtigen Fall eines reellwertigen Systems treten Nullstellen entweder rein reell oder
als konjugiert komplexe Paare auf, siehe Bild 9-3. Die Beiträge eines konjugiert komplexen
Nullstellenpaares zum Betragsgang
j
2
2
He
12
;
cos
:
;
12
;
cos
:
;
(9.8)
0
k
0
l
0
l
0
l
0
l
0
l
0
l
sind in Bild 9-3 dargestellt. Der Einfluss der Nullstellen ist wiederum umso markanter, je näher
die Nullstellen am Einheitskreis liegen und je kleiner die Differenz zwischen der betrachteten
normierten Kreisfrequenz und der Phase der nächsten Nullstelle ist.
Deshalb ist es bei FIR-Systemen möglich, anhand der Lage der Nullstellen den Betragsgang
grob abzuschätzen bzw. umgekehrt aus einer Skizze des Betragsgangs die Lage der Nullstellen
grob einzugrenzen.
Betrag der
Nullstellen
2 =
;
0
Im
6
z
1.5
;
0
:
0
4
1
0.5
1
Re
2
0
1
0
1
1/3
1/3
Normierte Kreisfrequenz
/
Bild 9-3
Einfluss eines konjugiert komplexen Nullstellenpaares mit Betrag
;
0
und Phasen
:
0
=
/ 3
auf den Betragsgang
Der
Phasengang
ergibt sich bis auf das Vorzeichen aus den Rechenregeln für komplexe
Größen.
N
!
;
sin
:
j
0
l
0
l
b
arg
H e
arctan
b
arctan
(9.9)
"
#
0
"
#
1
;
cos
:
&
'
0
l
0
l
l
1
Die Phase ist in 2
periodisch. In der Regel wird nur die Grundperiode bzgl. der normierten
Kreisfrequenz, das Intervall
], betrachtet.
Eine in der Übertragungstechnik wichtige Systemgröße ist der Frequenzgang der
Gruppen-
laufzeit
. Sie ergibt sich aus der Phase durch Differenzieren
]
,
db
d
9
(9.10)
g
Differenzieren der Arcustangens-Funktionen in (9.9) nach der normierten Kreisfrequenz liefert
die Gruppenlaufzeit
