Digital Signal Processing Reference
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Obige Überlegungen hängen nicht vom Wert der normierten Kreisfrequenz ab. Es gilt daher
allgemein: Liegt für das Einganssignal eine harmonische Zerlegung in Frequenzkomponenten
durch die Fourier-Transformation vor, so kann das Ausgangssignal im Frequenzbereich einfach
bestimmt werden
j
j
j
Ye
He
Xe
(8.18)
He
.
j
mit dem
Frequenzgang
des Systems
Da sowohl die Impulsantwort als auch der Frequenzgang die Systemreaktion eindeutig be-
schreiben, müssen beide in engem Zusammenhang stehen. Tatsächlich bilden die Impulsant-
wort und der Frequenzgang ein Fourierpaar und können, die Stabilität des Systems voraus-
gesetzt, durch Fourier-Transformation ineinander umgerechnet werden.
F
H e
j
(8.19)
hn
*
Im Weiteren wird, falls nicht anders erwähnt, von
kausalen Systemen
ausgegangen. Das sind
Systeme, deren Reaktionen erst mit oder nach den Erregungen eintreten. Für diese sind die
Impulsantworten rechtsseitige Folgen, also
h
[
n
] = 0 für
n
< 0.
Ferner wird angenommen, dass die Systeme auf Eingangssignale mit beschränkten Amplituden
mit Ausgangssignalen mit beschränkten Amplituden antworten. Man spricht dann von der
BIBO-Stabilität
(Bounded Input Bounded Output).
8.3.2
-Transformation
Häufig können die Systeme in der digitalen Signalverarbeitung durch lineare
Differenzen-
gleichungen
mit konstanten Koeffizienten (DGL) beschrieben werden.
Lineare Differenzengleichung und
z
N
M
aynk
bxnm
(8.20)
k
m
k
0
m
0
Damit ist insbesondere die Realisierbarkeit der Systeme durch Hard- oder Software prinzipiell
sichergestellt, vgl. Blockdiagramm in Direktform I in Bild 8-5.
Zur effektiven Lösung der DGL stellt die Mathematik die
z-Transformation
für Signale zur
Verfügung.
n
X
z
x n
z
(8.21)
n
Anmerkung:
Die
z
-Transformation ist eng mit der Fourier-Transformation für Folgen verwandt, wie ein
Blick in Tabelle 8-1 zeigt. Für zeitkontinuierliche Funktionen gelten entsprechende Zusammenhänge zwi-
schen den linearen Differenzialgleichungen und der Laplacetransformation.
Durch
z
-Transformation leitet sich aus der Differenzengleichung (8.20) die
Eingangs-
Ausgangsgleichung
im Bildbereich ab.
