Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
Impuls
Impulsantwort
Eingang
System
Ausgang
h
[
n
]
[
n
]
LTI-
System
x
[
n
]
T{.}
y
[
n
]
Erregung
Reaktion
e
j
n
j
j
n
He
e
0
0
0
Eintonsignal
Übertragungsfaktor
Bild 8-7
Das zeitdiskrete System als Transformation einer Folge (links) und Reaktion eines zeitdiskreten
LTI-Systems (rechts) auf die Impulsfunktion und die komplex Exponentielle mit der Impuls-
antwort bzw. dem Frequenzgang
Für die Berechnung der Ausgangssignale ist wichtig, dass die Signale der digitalen Signalver-
arbeitung in natürlicher Weise als Überlagerung gewichteter und zeitlich verschobener Impuls-
folgen aufgefasst werden können. Interpretiert man das Eingangssignal dementsprechend und
setzt die Linearität des Systems voraus, d. h. die Anwendbarkeit des Superpositionsprinzips,
dann resultieren die Signale am Systemausgang als Überlagerung ebenso gewichteter und ver-
zögerter Wiederholungen der Impulsantwort. Für die
Eingangs-Ausgangsgleichung
zeitdiskre-
ter LTI-Systeme ergibt sich im Zeitbereich die
Faltung
der Eingangsfolge mit der Impulsant-
wort.
Im Beispiel einer rechtsseitigen Eingangsfolge und einer rechtsseitigen Impulsantwort eines
kausalen Systems erhält man
y
[0]
x
[0]
h
[0]
y
[1]
x
[0]
h
[1]
x
[1]
h
[0]
y
[ ]
x
[ ]
h
[ ]
x
[ ]
h
[ ]
x
[ ]
h
[ ]
(8.16)
n
yn
xm hn m
xn hn
m
0
Es resultiert die Faltung in (8.1) wenn berücksichtigt wird, dass nur rechtsseitige Signale vor-
liegen.
Die zweite wichtige Art der Systemreaktion ist die Antwort auf komplex exponentielle Ein-
gangssignale. Dahinter verbirgt sich das Konzept der
Eigenfunktion
. Also, dass sich am
Systemausgang
das Signal am Systemeingang wieder
ergibt. Die komplex Exponentiellen sind Eigenfunktionen von LTI-Systemen. Wird ein LTI-
System mit einer komplex Exponentiellen beliebiger normierter Kreisfrequenz
0
erregt,
reagiert das LTI-System mit
bis auf einen multiplikativen Faktor
j
j
n
j
n
yn
H e
0
e
0
mit
xn
e
0
(8.17)
Anmerkung:
Bei LTI-Systemen treten am Ausgang nur Frequenzanteile auf, die auch am Systemeingang
eingespeist wurden, siehe Linearität.
