Das Wachstumund seine Grenzen - Die Zukunft Unserer Energieversorgung - page 66

ist. Die Zeit der Bevölkerungsdivergenz ergibt sich aus dieser Bedingung zu

σ ln

γ

t ∞ =

σ . γ −

Daher ereignet sich diese Divergenz nur zu einer reellen Zeit, wenn γ > σ ist. Für γ =

,a − und σ ,a − (dies sindunsere Abschätzungen fürdie Werte vonGeburten-

und Sterbekoezient in den letzten 200 Jahren) ergibt sich eine Divergenzzeit

=

t ∞ = a.

Das heißt, dieseModellrechnung sagtvoraus, dass umdas Jahr 2050 dieGrößeder Welt-
bevölkerung über alle Grenzen wachsen wird. Auch dies kann sicherlich nicht stimmen.
• Die Lösung ( 4.10 ) sagt allerdings auch voraus, dass n

( t )= n für alle Zeiten, wenn

σ γ ist.Unddies isteinevernüntigeVoraussage,da GeburtenrateundSterberatedann

gleich groß sind. Allerdings ist sehr die Frage, ob und wann sich diese vollkommene
Kompensation von zwei Raten wirklich einstellen wird.

=

Obwohl dieses Modell auf plausiblen Annahmen basiert, führt es zu unwahrscheinli-
chen Voraussagen. Wir haben es trotzdem diskutiert um zu erkennen, wo eigentlich der
Fehler in den Annahmen steckt. Der Fehler liegt in dem Produktansatz ( 4.7 ) , der nur dann
richtig ist, wenn jeder Mann mit jeder Frau Kinder zeugt. Im Normalfall wird aber ein
Mann nur mit einer Frau Kinder zeugen, weil Paare im Regelfall monogam sind. Das gilt
nicht so für einige, auf engem Raum lebende Tierpopulationen, die sich in der Tat explo-
sionsartig vermehren können, wenn der Populationsanstieg nicht durch andere Faktoren
(wie zum Beispiel ein begrenztes Nahrungsangebot) begrenzt wird.
Für die Menschheit ist es sicherlich viel realistischer, die Geburtenrate proportional zur
Anzahl der Paare n ( t )/ anzunehmen, das heißt ( 4.7 ) zu ersetzen durch

G m ( t )= G w ( t )= γ n

( ) = γn m ( t )= γn w ( t ). t

(4.11)

Dies führt anstelle von ( 4.9 ) zuder Differentialgleichung

d n )

d t = γn ( t )− σn ( t )=( γ − σ ) n ( t ),

( t

(4.12)

die eine einfache exponentielle Lösung besitzt:

n ( t )= n exp (( γ − σ ) t ) . (4.13)

In der Abb. 4.5 werden die beiden Lösungen ( 4.10 ) und( 4.13 ) verglichenmitdenDa-
ten zur Bevölkerungsentwicklung während der letzten 200 Jahre. Diese Entwicklung lässt