Das Wachstumund seine Grenzen - Die Zukunft Unserer Energieversorgung - page 65

an

γ n m (

t ) n w ( t )

G m ( t )= G w ( t )= , (4.7)

n /

wobei die Geburtenraten auf den Wert der Weltbevölkerung n = ⋅ Menschen im
Jahr 2000 ( t = ) normiert sind. Die Einführung dieser Normierung ist angebracht, damit
der Sterbekoezient σ und der Geburtenkoezient γ dieselbe Einheit besitzen, nämlich
[ γ ]=[ σ ]=a − .DiezeitlicheVeränderunginderAnzahlderMännerbzw.derFrauenergibt
sich aus der Differenz zwischen den entsprechenden Geburten- und Sterberaten, also

d n m ( t )

γ n m (

t ) n w ( t )

= G m ( t )− S m ( t )= − σn m ( t )

d t n /

(4.8)

d n w ( t )

γ n m (

t ) n w ( t )

= G w ( t )− S w ( t )= − σn w ( t ) .

d t n /

In der Mathematik nennt man dies ein System von gekoppelten Differentialgleichungen ,
das sich allerdings leicht durch die Addition der beiden Gleichungen in ( 4.8 ) in eine einzige
Differentialgleichung für das zeitliche Verhalten der gesamten Weltbevölkerung umformen
lässt:

γ n

d n ( t )
d t =

( t )
n −

σn ( t ) . (4.9)

Differentialgleichungen sind die natürliche mathematische Form, um zeitliche Verände-
rungen einer Größe X zu beschreiben. Die Form der Differentialgleichung legt

die Form der Lösungsamt ihrer Eigenschaten fest, wobei die freien Parameter (in unserem
Fall σ und γ )durchdieDatenvon n

( t )= n ( t )

( t ) in der Vergangenheit t < festgelegt werden.

Die Differentialgleichung ( 4.9 ) hatdieLösung

σ

n ( t )= n , (4.10)

γ +( σ − γ ) exp ( σt )

wobei exp eine Exponentialfunktion in t mit dem Anstiegskoezienten σ beschreibt.

Bevor wir die Werte von σ und γ festlegen, wollen wir die Eigenschaten dieser Lösung
diskutieren.

( σt )

• Für die Vergangenheit ( t →−∞)erreichtdieLösung( 4.10 ) denWert

n (−∞)= n σ

γ > ,

gilt. Das bedeutet, die Entwicklung der Menschheit hat mit
einer endlichen Anzahl von Menschen begonnen, was sicherlich nicht stimmt.
• Auf der anderen Seite divergiert die Lösung ( 4.10 ) zuderZeit t ∞ ,zuder

solange σ > und γ >

γ +( σ − γ ) exp( σt ∞ )=