Die Energiespeicherung - Die Zukunft Unserer Energieversorgung - page 262

thermisch isoliert ist. Die Güte der Isolation hängt von der Wärmeleitfähigkeit Λ und der
Dicke d der Isolationsschicht ab.
Und da liegt es nahe, die Eigenschaten des Erdbodens als Wärmespeicher zu untersu-
chen, denn seine Wärmeleitfähigkeit ist gering und die Isolationsdicke kann beliebig groß
gemacht werden. Insbesondere kann man hoffen, die Wärme der Sommerzeit mithilfe des
Erdbodens in die kalte Winterzeit zu retten. Ist dies möglich und wie hoch ist die Tempe-
ratur des Erdbodens in der Winterzeit?
Analog zu ( 8.1 ) schwanktdie Temperatur der Lut über dem Erdboden gemäß der
Funktion

T = T −Δ T cos ( ωt ), (8.27)

wobei der Mittelwert der Temperatur T = °C beträgt und der Temperaturhub Δ T =
°C. Mit ω ist die Frequenz der Temperaturschwankung gegeben, sie beträgt

π
d − ,

ω = (8.28)

wenn die Zeit t in der Einheit d (Tag) gemessen wird. Mit der Temperatur verändert

sich die thermische Energie der Lut, die Energieschwankungen werden in den Erdboden
übertragen. Die Übertragung wird beschrieben durch das Wärmeleitungsgesetz ( 6.143 )

[ t ]=

A

d Q
d t =−

Λ d T

d s ,

(8.29)

wobei d T d s der Temperaturgradient senkrecht zur Erdoberfläche ist. Gleichung 8.29 kann

mithilfe der Beziehung

/

= ̃

− d Q nC d T (8.30)

auch in eine Differentialgleichung für die Temperatur des Erdbodens umformuliert wer-
den. Dabei ist zu berücksichtigen, dass wir an der Temperaturverteilung längs des Wegs s
im Volumenelement d V

= A d s interessiert sind. Wir definieren die molare Dichte

A

d n
d s =

d n
d V

̃

ρ =

und erhalten aus ( 8.29 ) dieGleichung

Λ d T
d s

d T
d s =

ρC d T

κ

d T
d t

Λ
̃

̃

d t =

→ mit κ =

ρC ,

(8.31)

wobei κ die Temperaturleitfähigkeit des Erdbodens ist. Zur Lösung von ( 8.31 ) benutzen
wir die Randbedingung für die Temperatur an der Erdoberfläche s

=

d T
d t =−

ω Δ T sin ( ωt )