Intuitionistic Fuzzy Aggregation Techniques - Intuitionistic Fuzzy Aggregation and Clustering - page 151

Theorem 1.51 (Xia and Xu 2010)
(1) α D n GIFPOWAD w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ α D n . ≤

α F n α F n , where GIFPOWAF w (α 1 ,α 2 ,...,α m )

(2) ≤ ≤ κ α j + λ α j ≤ 1,

= , ,...,

j 1 2 m .

α G n

GIFPOWAG w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ α G n .

≤

(3)

α H n GIFPOWAH w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ α H n .

(4) ≤

α H n GIFPOWAH w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ α H n .

(5) ≤

α J n GIFPOWAJ w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ α J n . (6) ≤

α J n GIFPOWAJ w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ α J n . (7) ≤

α P n α P n , where

GIFPOWAP w (α 1 ,α 2 ,...,α m )

(8) ≤ ≤ κ α j + λ α j ≤ 1,

j = 1 , 2 ,..., m .

α Q n GIFPOWAQ w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ α Q n , where (9) ≤ κ α j + λ α j ≤ 1,

j = 1 , 2 ,..., m .

α j

Theorem 1.52 (Xia and Xu 2010) Let = (μ α j , v

α j )(

j = 1 , 2 ,..., m ) be a

collection of IFVs, then

(1) If μ D n

κ α j ,λ α j (α j ) ≤ μ D n

and v D n

κ α j ,λ α j (α j ) ≥

v D n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j )

GIFPOWAD w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ GIFPOWAD w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) (1.402)

(2) If μ F n

κ α j ,λ α j (α j ) ≤ μ F n

and v F n

κ α j ,λ α j (α j ) ≥

v F n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j )

GIFPOWAF w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ GIFPOWAF w (α 1 ,α 2 ,...,α n ) (1.403)

where κ α j + λ α j ≤ 1, j = 1 , 2 ,..., m .

(3) If μ G n

) ≤ μ G n

and v G n

) ≥

v G n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α κ α j ,λ α j (α

j j

GIFPOWAG w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ GIFPOWAG w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) (1.404)

μ H n

) ≤ μ H n ) ≥

(4) If and v H n v H n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j )

κα j ,λα j (α κα j ,λα j (α

j j

GIFPOWAH w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) GIFPOWAH w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ (1.405)

(5) If μ H ∗ , n

κ α j ,λ α j (α j ) ≤ μ H ∗ , n

and v H ∗ , n

κ α j ,λ α j (α j ) ≥

v H ∗ , n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j )