Intuitionistic Fuzzy Aggregation Techniques - Intuitionistic Fuzzy Aggregation and Clustering - page 141

Theorem 1.47 (Xia and Xu 2010)
(1) If μ D n

κα j ,λα j (α j ) ≤ μ D n

and v D n

κα j ,λα j (α j ) ≥

v D n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j )

GIFPWAD w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) GIFPWAD w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ (1.366)

(2) If μ F n

κ α j ,λ α j (α j ) ≤ μ F n

and v F n

κ α j ,λ α j (α j ) ≥

v F n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j )

GIFPWAF w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ GIFPWAF w (α 1 ,α 2 ,...,α n ) (1.367)

where κ α j + λ α j ≤ 1, j = 1 , 2 ,..., m .

(3) If μ G n

κ α j ,λ α j (α j ) ≤ μ G n

and v G n

κ α j ,λ α j (α j ) ≥

v G n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j )

GIFPWAG w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ GIFPWAG w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) (1.368)

(4) If μ H n

κ α j ,λ α j (α j ) ≤ μ H n

and v H n

κ α j ,λ α j (α j ) ≥

v H n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j )

GIFPWAH w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ GIFPWAH w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) (1.369)

(5) If μ H ∗ , n

κ α j ,λ α j (α j ) ≤ μ H ∗ , n

and v H ∗ , n

κ α j ,λ α j (α j ) ≥

v H ∗ , n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j )

GIFPWAH ∗ , n
w

GIFPWAH ∗ , n
w

(α 1 ,α 2 ,...,α m ) (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ (1.370)

(6) If μ J n

κ α j ,λ α j (α j ) ≤ μ J n

and v J n

κ α j ,λ α j (α j ) ≥

v J n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j )

GIFPWAJ w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ GIFPWAJ w (α 1 ,α 2 ,...,α m )

(1.371)

(7) If μ J ∗ , n

κα j ,λα j (α j ) ≤ μ J ∗ , n

and v J ∗ , n

κα j ,λα j (α j ) ≥

v J ∗ , n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j )

GIFPWAJ ∗ , n
w

GIFPWAJ ∗ , n
w

(α 1 ,α 2 ,...,α m ) (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ (1.372)

(8) If μ P n

κ α j ,λ α j (α j ) ≤ μ P n

and v P n

κ α j ,λ α j (α j ) ≥

v P n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j )

GIFPWAP w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ GIFPWAP w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) (1.373)

where κ α j + λ α j ≤ 1, j = 1 , 2 ,..., m .