Intuitionistic Fuzzy Aggregation Techniques - Intuitionistic Fuzzy Aggregation and Clustering - page 142

μ Q n

) ≤ μ Q n ) ≥

(9) If and v Q n v Q n , for all j , then

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α κ α j ,λ α j (α

j j

GIFPWAQ w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) ≤ GIFPWAQ w (α 1 ,α 2 ,...,α m ) (1.374)

where κ α j + λ α j ≤ 1, j = 1 , 2 ,..., m .

Proof Here, we prove (2), since μ F n

κ α j ,λ α j (α j ) ≤ μ F n

and v F n

κ α j ,λ α j (α j ) ≥ κ α j ,λ α j (α j )

v F n for all j , then

κ α j ,λ α j (α j )

1 w j

1 w j

m m

− μ F n − μ F n

≥ (1.375)

κ α j ,λ α j (α j )

κ α j ,λ α j (α j )

j = 1 j = 1

1 w j

1 w j

n n

− μ F n − μ F n

1 − ≤ 1 − (1.376)

κ α j ,λ α j (α j ) κ α j ,λ α j (α

) j

j = 1 j = 1

⎛

w j ⎞
⎠

⎛

w j ⎞
⎠

1
ρ

1

1
ρ

1

n m

− μ F n − μ F n

⎝ 1 ⎝ 1

− ≤ −

κ α j ,λ α j (α j )

κ α j ,λ α j (α j )

j = 1 j = 1

(1.377)

1 w j

1

) ) ρ w j

n m

κ α j ,λ α j (α j ) ) ρ

− ( − ≥ − ( −

1 v F n 1 v F n (1.378)

κ α j ,λ α j (α

j

j = 1 j = 1

1 w j

1

κ α j ,λ α j (α j ) ) ρ w j

m m

κ α j ,λ α j (α j ) ) ρ

1 − − ( 1 − v F n ≤ 1 − − ( 1 − v F n

j = 1 j = 1

(1.379)

⎛
⎝ 1

κ α j ,λ α j (α j ) ) ρ w j ⎞

⎛
⎝ 1

w j ⎞
⎠

1
ρ

1

1
ρ

1 m m

⎠

κ α j ,λ α j (α j ) ) ρ

− − ( 1 − v F n ≤ − − ( 1 − v F n

j = 1 j = 1

(1.380)

⎛
⎝ 1

κ α j ,λ α j (α j ) ) ρ w j ⎞

⎛
⎝ 1

w j ⎞
⎠

1
ρ

1

1
ρ

1

m m

⎠

κ α j ,λ α j (α j ) ) ρ

1 − − − ( 1 − v F n ≥ 1 − − − ( 1 − v F n

j = 1 j = 1

(1.381)

⎛
⎝

ρ ⎞
⎠

⎛
⎝ 1

w j ⎞
⎠

⎛
⎝ 1

κα j ,λα j (α j ) ) ρ w j ⎞

1
ρ

1

1 1 m m

F n

⎠

− − μ − 1 − − − ( 1 − v F n

κ α j ,λ α j (α j )

j = 1 j = 1