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Abbildung 6.6: Darstellung einer Treppenfunktion durch eine gewichtete Summe
von Rechteckfunktionen (mit Zentren
x
i
). Natürlich können die Stufenhöhen
y
i
auch
negativ sein. An den Stufenkanten kommt es allerdings zu falschen Funktionswerten
(Summe der Stufenhöhen).
6.2 Funktionsapproximation
Nach den Beispielen des vorangehenden Abschnitts, in denen nur einfache logische
Funktionen verwendet wurden, betrachten wir nun, in Analogie zu Abschnitt 5.2,
wie man mit Hilfe von Radiale-Basisfunktionen-Netzen reellwertige Funktionen ap-
proximieren kann. Das Prinzip ist das gleiche wie in Abschnitt 5.2: Die zu appro-
ximierende Funktion wird durch eine Treppenfunktion angenähert, die durch ein
Radiale-Basisfunktionen-Netz leicht dargestellt werden kann, indem man es eine
gewichtete Summe von Rechteckfunktionen berechnen lässt. Wir veranschaulichen
dieses Prinzip anhand der gleichen Beispielfunktion wie in Abschnitt 5.2, siehe Ab-
bildung 6.6.
Für jede Treppenstufe wird eine radiale Basisfunktion verwendet, deren Zen-
trum in der Mitte der Stufe liegt und deren Radius die halbe Stufenbreite ist. Da-
durch werden Rechteckpulse beschrieben (siehe Abbildung 6.6 unten rechts), die
mit der zugehörigen Stufenhöhe gewichtet und aufaddiert werden. Man erhält so
die in Abbildung 6.6 oben rechts gezeigte Treppenfunktion. Das zugehörige Radiale-
Basisfunktionen-Netz, das für jeden Rechteckpuls ein verstecktes Neuron besitzt, ist
in Abbildung 6.7 gezeigt.
Allerdings ist zu beachten, dass an den Stufenkanten die Summe der Stufenhö-
hen berechnet wird (in der Abbildung 6.6 nicht dargestellt), da sich die Rechteck-
pulse an diesen Punkten überlappen. Für die Güte der Näherung spielt dies jedoch
keine Rolle, da wir den Fehler wieder, wie in Abschnitt 5.2, als die Fläche zwischen
der Treppenfunktion und der zu approximierenden Funktion ansetzen. Weil die Ab-
weichungen nur an endlich vielen Einzelpunkten auftreten, liefern sie keinen Beitrag
zum Fehler.
